previous contents next

18.5 Поле разложение многочлена.

Теорема 18.9:
Пусть $P$ - поле, многочлен $f(x)\in{P}[x]$ неприводим над $P$, тогда существует поле $T$ и элемент $\alpha\in{T}$ такие, что $T=P(\alpha)$ и $f(\alpha)=0$.

Доказательство:

Обозначим $f(x):=f_0+f_1x+\cdots+f_nx^n$, $n:=\deg{f(x)}$, $$P_1:=P[x]/f(x)=\{[g(x)]_{f(x)}\mid{g}(x)\in{P}[x]:\deg{g(x)}<n\},$$ $\varphi_0:P[x]\to{P}_1$ - естественных эпиморфизм. Так как многочлен $f(x)$ неприводим, то $P_1$ поле. Положим $T:=(P_1\backslash\varphi_0(P))\cup{P}$, определим отображение $$\psi:T\to{P}_1:\forall\gamma\in{T}\left(\psi(\gamma):=\begin{cases}\varphi_0(\gamma),&\gamma\in{P} \\ \gamma,&\gamma\notin{P}\end{cases}\right).$$ Так как отображение $\varphi_0|_P$, очевидно, биективно, то биективно и отобаржение $\psi$, тогда определим на множестве $T$ операции $+$ и $\cdot$ такие, что $$*\in\{+,\cdot\}\Rightarrow\forall\beta,\gamma\in{T}(\beta*\gamma=\psi^{-1}(\psi(\beta)*\psi(\gamma))),$$ тогда из доказательства теоремы 17.5 следует, что $\psi$ - изоморфизм алгебр $(T;+,\cdot)$ и $P_1$, то есть $T$ - поле и $P$ подполе поля $T$.
Так как в поле $T$ для любых $a\in{P}$, $i\in\mathbb{N}$ $a[x]_{f(x)}^i=[a]_{f(x)}[x]_{f(x)}^i$, то $$ T=\bigl\{[g(x)]_{f(x)}\mid{g}(x)\in{P}[x]:0<\deg{g(x)}<n\bigr\}\cup{P}= \left\{\sum_{i=1}^{n-1}[a_i]_{f(x)}[x]_{f(x)}^i\,\biggl|\,a_i\in{P}\right\}\cup{P}= \left\{\sum_{i=0}^{n-1}a_i[x]_{f(x)}^i\,\biggl|\,a_i\in{P}\right\}=P\bigl([x]_{f(x)}\bigr). $$ Покажем, что элемент $[x]_{f(x)}\in{T}$ является корнем многочлена $f(x)$ над полем $T$. Так как $\psi$ изоморфизм, то $$ \psi\bigl(f([x]_{f(x)})\bigr)=\psi\biggl(\sum_{i=0}^nf_i[x]^i\biggr)=\sum_{i=0}^n\psi(f_i)\psi\bigl([x]_{f(x)}^i\bigr)= \sum_{i=0}^n[f_i]_{f(x)}[x]_{f(x)}^i=[f(x)]_{f(x)}=[0]_{f(x)}\Rightarrow{f}([x]_{f(x)})=0. $$

Следствие 18.10:
Пусть $P$ - поле, $f(x)\in{P}[x]$, $\deg{f(x)}\geq1$, тогда существует поле $T$ и элемент $\alpha\in{T}$ такие, что $T=P(\alpha)$ и $f(\alpha)=0$.

Доказательство:

Следует из теорем 7.10 и 18.9.

Определение 18.9:
Поле $P'$ называется полем разложения (ПР) многочлена $f(x)\in{P}[x]$ над полем $P$, если $P$ подполе ${P}'$ и $f(x)$ раскладывается над $P'$ на линейные множители.

Теорема 18.10:
Пусть $P$ - поле, $f(x)\in{P}[x]$, $\deg{f(x)}\geq1$, тогда существует поле разложение многочлена $f(x)$ над $P$.

Доказательство:

Пусть $f(x):=f_np_1(x)\cdots{p}_s(x)$, где $f_n\in{P}^*$ и для любого $i\in\overline{1,s}$ $p_i(x)$ - унитарный неприводимый над полем $P$ многочлен. Пусть отображение $d_P(f):P[x]\to\mathbb{N}_0$ такое, что для любого $f(x)\in{P}[x]$ $d_P(f)$ равно $\deg{f(x)}$ минус число многочленов первой степени в разложении $p_1(x)\cdots{p}_s(x)$. Отображение $d_P(f)$ обладает следующими свойствами

  1. $d_P(f)\leq\deg{f(x)}$,
  2. $f(x)=g(x)h(x)\Rightarrow{d}_P(f)=d_P(g)+d_P(h)$,
  3. $P'\subset{T}\Rightarrow{d}_{P'}(f)\geq{d}_T(f)$.
Докажем утвержедение индукцией по $d_P(f)$.
  1. При $d_P(f)=0$ $\deg{f(x)}$ равно числу многочленов первой степени в разложении $f(x):=f_np_1(x)\cdots{p}_s(x)$ и так как $\deg{f(x)}=\sum_{i=1}^s\deg{p_i(x)}$, то $s=\deg{f(x)}$ и для любого $i\in\overline{1,s}$ $\deg{p_i(x)}=1$.
  2. Докажем, что для любого $k\geq0$ из верности утверждения при любом поле $P$ и $d_P(f)\in\overline{0,k}$ следует его справедливость при $d_P(f)=k+1$.
    Пусть $d_P(f>0$, тогда сущетсвует $j\in\overline{1,s}$ такое, что $\deg{p_j(x)}>1$. По теореме 18.9 существует поле $T$, элемент $\alpha\in{T}$, $h(x)\in{T}[x]$ такие, что $T=P(\alpha)$ и $p_j(x)=(x-\alpha)h(x)$, тогда $$ d_T(p_j)=d_T(x-\alpha)+d_T(h)\leq\deg{h(x)}<\deg{p_j(x)}=d_P(p_j)\Rightarrow{d}_T(f)=\sum_{i=1}^sd_T(p_i)<\sum_{i=1}^sd_P(p_i)=d_P(f). $$ Тогда по предположению индукции существует поле $P'$ такое, что многочлен $f(x)$ раскладывается над $P'$ на линейные множители.

Определение 18.10:
Пусть $f(x)\in{P}[x]$, тогда поле разложения $P'$ многочлена $f(x)$ называется минимальным полем разложения (МПР) многочлена $f(x)$, если $P'(x)=P(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$, где $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in{P}'$ - все корни многочлена $f(x)$ в $P'$.

Теорема 18.11:
Пусть $f(x)\in{P}[x]$, $\deg{f(x)}\geq1$, тогда существует минимальное поле разложения $\overline{P}$ многочлена $f(x)$ над $P$. Если $P'$ поле разложения многочлена $f(x)$ над $P$, то $\overline{P}\subset{P}'$.

Доказательство:

Пусть поле $P'$ - ПР многочлена $f(x)$ над $P$ (по теореме 18.10 как мимимум одно существует ). Тогда по теореме 7.3 (теорема Безу) все корни $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ многочлена $f(x)$ принадлежат $P'$, тогда $P(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ - МПР многочлена $f(x)$ и $P(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\subset{P}'$.

Теорема 18.12:
Пусть $\sigma:P_1\to{P}_2$ - изоморфизм полей; $f(x)\in{P}_1[x]$, $\overline{P}_1$ минимальное поле разложения многочлена $f(x)$ над $P_1$. Отображение $\sigma':P_1[x]\to{P}_2[x]$ такое, что $$\forall{t}(x):=\sum_{i=0}^na_ix^i\in{P}_1[x]\left(\sigma'(t(x))=\sum_{i=0}^n\sigma(a_i)x^i\right),$$ $\overline{P}_2$ минимальное поле разложения многочлена $\sigma'(f(x))\in{P}_2[x]$, тогда существует изоморфизм $\tau:\overline{P}_1\to\overline{P}_2$ такой, что $\tau|_{P_1}=\sigma$, то есть для любого $a\in{P}_1$ $\tau(a)=\sigma(a)$.

Доказательство:

Докажем индукцией по $d_{P_1}(f)$.

  1. Пусть $d_{P_1}(f)=0$, тогда $P_1$ ПР многочлена $f(x)$ над $P$, тогда по теореме 18.11 $\overline{P}_1\subset{P}_1$, следовательно, $\overline{P}_1=P_1$. Существуют $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in{P}_1$ такие, что $$f(x)=f_n\prod_{i=1}^n(x-\alpha_i)\Rightarrow\sigma'(f(x))=\sigma(f_n)\prod_{i=1}^n(x-\sigma(\alpha_i)),$$ где $f_n\in{P}^*$. Таким образом, $P_2$ ПР многочлена $\sigma'(f(x))$, следовательно, $\overline{P}_2=P_2$ и $\tau:=\sigma$.
  2. Для любого $k\geq0$ докажем, что если утверждение верно для любого поля $P_1$ и $d_{P_1}(f)\in\overline{0,k}$, то оно верно при $d_{P_1}=k+1$.
    Пусть $f(x):=f_np_1(x)\cdots{p}_s(x)$, где для любого $i\in\overline{1,s}$ $p_i(x)$ - унитарный неприводимый над $P_1$ многочлен, $f_n\in{P}^*$. Тогда по утверждению 18.7 и следствию 18.7 $\sigma'(f(x))=\sigma(f_n)\sigma'(p_1(x))\cdots\sigma'(p_s(x))$, где для любого $i\in\overline{1,s}$ $\sigma'(p_i(x))$ - неприводим над $P_2$, тогда $$d_{P_1}(f)>0\Rightarrow\exists{j}\in\overline{1,s}:\deg{p}_j(x)>1\Rightarrow\exists\alpha_1\in\overline{P}_1:p_j(\alpha_1)=0.$$ Так как $\deg{p_j(x)}>1$, то $\deg{\sigma'(p_j(x))}>1$, тогда, аналогично, существует $\beta_1\in\overline{P}_2$ - корень многочлена $\sigma'(p_j(x))$.
    Так как многочлен $p_j(x)$ унитарный, неприводимый и $p_j(\alpha_1)=0$, то $m_{\alpha_1,P_1}(x)=p_j(x)$, аналогично, $m_{\beta_1,P_2}(x)=\sigma'(p_j(x))$. То есть $$\sigma'(m_{\alpha_1,P_1}(x))=\sigma'(p_j(x))=m_{\beta_1,P_2}(x),$$ тогда по теореме 18.8 существует изоморфизм $\tau:{P}_1(\alpha_1)\to{P}_2(\beta_1)$ такой, что $\tau|_{P_1}=\sigma$. Если $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\overline{P}_1$ все корни многочлена $f(x)$, то $$\overline{P}_1=P_1(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)=P_1(\alpha_1)(\alpha_2,\ldots,\alpha_n).$$ Тогда $\overline{P}_1$ МПР многочлена $f(x)$ над полем $P_1(\alpha_1)$. Аналогично $\overline{P}_2$ МПР многочлена $\sigma'(f(x))$ над полем $P_2(\beta_1)$.
    Аналогично тому как это сделано при доказательстве теоремы 18.10 можно показать, что $d_{P_1(\alpha_1)}(f)<d_{P_1}(f)$. Определим отображение ${\tau':P_1(\alpha_1)[x]\to{P}_2(\beta_1)[x]}$ такое, что $$\forall{t}(x):=\sum_{i=0}^na_ix^i\in{P}_1(\alpha_1)[x]\left(\tau'(t(x))=\sum_{i=0}^n\tau(a_i)x^i\right),$$ тогда так как $\tau|_{P_1}=\sigma$, то $\tau'(f(x))=\sigma'(f(x))$. Тогда по предположению индукции сущесвтует изоморфизм $\varphi:\overline{P}_1\to\overline{P}_2$ такой, что $\varphi|_{P_1(\alpha_1)}=\tau$, следовательно, $\varphi|_{P_1(\alpha_1)}=\tau|_{P_1}=\sigma$.

Следствие 18.11:
Пусть $P',P''$ - минимальные поля разложения многочлена $f(x)$ над полем $P$, тогда существует изоморфизм $\tau:P'\to{P}''$ такой, что для любого $a\in{P}$ $\tau(a)=a$.

Доказательство:

Следует из теоремы 18.12 при $P_1=P_2$ и $\sigma=\varepsilon$.

Определение 18.11:
Поле $P$ называется алгибраически замкнутым, если любой многочлен $f(x)\in{P}[x]$ раскладывается над $P$ на линейные множители.

Теорема 18.13: Теорема Штейница.
Для любого поля $P$ существует поле $\overline{P}$, называемое его алгебраическим замыканием, такое, что $\overline{P}$ алгебраическое расширение поля $P$ и $\overline{P}$ алгебраически замкнуто.
Любые два алгебраических замыкания поля $P$ изоморфны.

Доказательство6

Ван дер Варден, гл. 10, параграф 72, стр. 236

Задача 18.1:
Доказать, что $[\overline{\mathbb{Q}}:\mathbb{Q}]=\infty$.
Решение.
Предположим, что $[\overline{\mathbb{Q}}:\mathbb{Q}]=n<\infty$, тогда по утверждению 18.3 существуют $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\mathbb{C}$ такие, что $\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{Q}(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$, так как $\overline{\mathbb{Q}}$ алгебраическое расширение, то для любого неприводимого $f(x)\in{P}[x]$ $$\forall\alpha\in\overline{\mathbb{Q}}(f(\alpha)=0\Rightarrow\deg{f(x)}\leq\max_{1\leq{i}\leq{n}}\deg{m_{\alpha_i,\mathbb{Q}}}(x)).$$ Однако, по следствию 7.13 над полем $\mathbb{Q}$ существуют неприводимые многочлены любой степени и все их корни должны лежать в алгебраическом замыкании $\overline{\mathbb{Q}}$

previous contents next