19 Конечные поля.

19.1 Основные свойства конечных полей.

Теорема 19.1:
Пусть $P$ - поле, $p$ - простое число, $t\in\mathbb{N}$, $|P|=p^t$, тогда

1. $\Char{P}=p$,
2. если $P_0$ - простое подполе поля $P$, то $[P:P_0]=t$,
3. поле $P$ является минимальным полем разложения для многочлена $x^{p^t}-x\in{P}_0[x]$ над своим простым подполем $P_0$ и совпадает с множеством его корней.

Доказательство:

1. По теореме 18.1 каждое поле содержит единственное простое подполе. Так как поле $P$ конечно, то поле $P_0$ тоже конечно, следовательно, так как $|P_0|\bigl||P|$, то по теореме 18.5 $P_0\cong\mathbb{Z}/p$. Тогда по следствию 17.4 и утверждению 17.6 $$\Char{P}=\Char{P_0}=|\mathbb{Z}/p|=p.$$
2. По п. 1 теоремы 11.12 $$|P|=|P_{P_0}|=|P_0|^{[P:P_0]}=p^t\Rightarrow[P:P_0]=t.$$
3. Так как порядок любого элемента мультипликативной группы $P^*$ делит ее мощность $|P^*|$, то $$ |P^*|=p^t-1\Rightarrow\forall{a}\in{P}^*(\Ord{a}|(p^t-1))\Rightarrow\forall{a}\in{P}^*(a^{p^t-1}=1)\Rightarrow\forall{a}\in{P}(a^{p^t}=a). $$ Таким образом, все элементы поля $P$ являются корнями многочлена $x^{p^t}-x\in{P}_0[x]$ и так как число корней не превосходит $p^t$, то $P$ - множество корней многочлена $x^{p^t}-x$. То есть $P$ -- поле разложения многочлена $x^{p^t}-x$ над $P_0$. Так как, очевидно, что $P=P_0(P)$, то $P$ - МПР многочлена $x^{p^t}-x$ над $P_0$.

Задача 19.1:
Пусть $P$ - поле, $p$ - простое число, $|P|=p^t$. Доказать, что для любых $a\in{P}$ $s\in\mathbb{N}$ $a^{p^{ts}}=a$.
Решение.
Докажем индукцией по $s$.

1. Из доказательства теоремы 19.1 следует, что $a^{p^t}=a$.
2. Предположим, что для любого $a\in{P}$ $a^{p^{ts}}=a$, тогда из пункта I следует $$\forall{a}\in{P}\left(a^{p^{t(s+1)}}=a^{p^{ts}p^t}=(a^{p^{ts}})^{p^t}=a^{p^t}=a\right).$$

Утверждение 19.1:
Пусть $p$ - простое число, $P$ - поле, $|P|=p^t$, $n\in\mathbb{N}$, $F(x)=x^{p^{tn}}-x\in{P}[x]$, $P'$ - минимальное поле разложения многочлена $F(x)$ над $P$, тогда $|P'|=p^{tn}$ и $P'$ - множетсво всех корней многочлена $F(x)$.

Доказательство:
По следствию 17.4 и п. 1 теоремы 19.1 $$ \Char{P}'=\Char{P}=p\Rightarrow\forall{k}\in\mathbb{N}\,\forall{a}\in{P}(ka=0)\Rightarrow{F}'(x)=p^{tn}x^{p^{tn}}-e=-e'\Rightarrow(F(x),F'(x))=e, $$ тогда по следствию 7.9 многочлен $F(x)$ не имеет кратных корней. Обозначим $M:=\{\alpha_1,\ldots,\alpha_{p^{tn}}\}$ - множество корней многочлена $F(x)$, тогда по доказанному $|M|=p^{tn}$. Покажем, что $M$ - поле. Так как $$\alpha\in{M}\Leftrightarrow{F}(\alpha)=0\Leftrightarrow\alpha^{p^{tn}}=\alpha,$$ то для любых $\alpha,\beta\in{M}$ $$ (\alpha\beta)^{p^{tn}}=\alpha^{p^{tn}}\beta^{p^{tn}}=\alpha\beta\Rightarrow\alpha\beta\in{M} $$ и по утверждению 17.7 $$ (\alpha+\beta)^{p^{tn}}=\alpha^{p^{tn}}+\beta^{p^{tn}}=\alpha+\beta\Rightarrow\alpha+\beta\in{M} $$ таким образом, по п. 3 следствия 18.1 $M$ - поле. Так как по задаче 19.1 $P\subset{M}$, то $M$ - поле разложения многочлена $F(x)$ и $P'=P(M)=M$

Теорема 19.2:
Для любого простого числа $p$ и $n\in\mathbb{N}$ существует единственное с точностью до изоморфизма поле из $p^n$ элементов.

Доказательство:
Пусть $F(x)=x^{p^n}-x\in\mathbb{Z}/p[x]$, тогда, так как $|\mathbb{Z}/p|=p$, то по утверждению 19.1 МПР многочлена $F(x)$ содержит $p^n$ элементов.
Пусть $P_1,P_2$ - поля такие, что $|P_1|=|P_2|=p^n$. Обозначим $e_1,e_2$ - единицы полей $P_1$ и $P_2$ соответственно, $P_1^{(0)},P_2^{(0)}$ - простые подполя полей $P_1,P_2$, тогда по п. 3 теоремы 19.1

1. $P_1$ МПР многочлена $f_1(x):=e_1x^{p^n}-e_1x\in{P}_1^{0}[x]$ над $P_1^{(0)}$,
2. $P_2$ МПР многочлена $f_2(x):=e_2x^{p^n}-e_2x\in{P}_2^{(0)}[x]$ над $P_2^{(0)}$

Замечание 19.1:
Пусть $P$ - поле, $r,s\in\mathbb{N}$, $x^{rs}-e\in{P}[x]$, тогда $$x^{rs}-e=(x^r-e)(x^{r(s-1)+x^{r(s-2)}}+\cdots+x^r+e).$$ Следовательно, для любых $m,n\in\mathbb{N}$ $$ m|n\Rightarrow(x^m-e)|(x^n-e)\Rightarrow\forall{a}\in{P}((a^m-e)|(a^n-e)) $$

Теорема 19.3:
Пусть $P_1,P_2$ конечные поля, тогда $P_1$ содержит подполе изоморфное полю $P_2$ тогда и только тогда, когда существует $l\in\mathbb{N}$ такое, что $|P_2|^l=|P_1|$.
Поле $P_1$ содержит не более одного подполя изоморфного $P_2$.

Доказательство:

$\Rightarrow)$ Пусть $P'_2$ подполе поля $P_1$ такое, что $P'_2\cong{P}_2$, тогда $$[P_1:P'_2]=\dim{P_1}_{P'_2}\Rightarrow|P_1|=|P'_2|^{[P_1:P'_2]}=|P_2|^{[P_1:P'_2]},$$ то есть $l:=[P_1:P'_2]$.
$\Leftarrow)$ Пусть $p_1,p_2$ - простые числа и $m,n\in\mathbb{N}$ такие, что $|P_1|=p_1^m$, $|P_2|=p_2^n$. Тогда по замечанию 19.1 $$ |P_1|=|P_2|^l\Rightarrow{p}_1^m=p_2^{nl}\Rightarrow(p:=p_1=p_2\,\wedge\,m=nl)\Rightarrow{n}|m\Rightarrow (p^n-1)|(p^m-1)\Rightarrow\left(x^{p^n-1}-e\right)\bigl|\left(x^{p^m-1}-e\right)\Rightarrow\left(x^{p^n}-x\right)\bigl|\left(x^{p^m}-x\right). $$ Обозначим $P_0$ - простое подполе поля $P_1$, $g(x):=x^{p^n}-x$, $f(x):=x^{p^m}-x$, $g(x),f(x)\in{P}_0[x]$. Так как $|P_1|=p^m$, то из доказательства теоремы 19.2 следует, что $P_1$ МПР многочлена $f(x)$ над $P_0$. Следовательно, $f(x)$ раскладывается над $P_1$ на линейные множители, тогда $g(x)$ тоже раскладывается над $P_1$ на линейные множители, то есть $P_1$ ПР многочлена $g(x)$ над $P_0$. Обозначим $T$ - МПР многочлена $g(x)$ над $P_0$, тогда $T$ подполе поля $P_1$ и так как $|P_0|=p$, то по утверждению 19.1 $|T|=p^n$, следовательно, по теореме 19.2 $T\cong{P}_n$.
Пусть сущетсвуют подполя $T,T_1$ поля $P_1$ такие, что $T\cong{P}_2$, $T_1\cong{P}_2$, тогда $|T|=|T_1|=p^n$. Тогда по п. 3 теоремы 19.1 $T$ и $T_1$ МПР многочлена $g(x)$ над $P_0$ и по утверждению 19.1 поля $T$ и $T_1$ совпадают с множеством всех корней многочлена $g(x)$, то есть они равны.

Следствие 19.1:
Для любого $d$ делящего $n$ существует единственное подполе поля $GF(p^n)$ порядка $p^d$. Этими подполями исчерпываются все подполя поля $GF(p^n)$.

Доказательство:

По теореме 19.2 существует единственное с точностью до изоморфизма поле $P$ порядка $p^d$. Так как $d|n$, то существует $l:=n/d$ такое, что $|P|^l=|GF(p^n)|$, следовательно, $P\cong{G}F(p^d)$. Таким образом, $GF(p^d)$ единственное с точностью до изоморфизма подполе поля $GF(p^n)$ порядка $p^d$.
Так как любое конечное поле имеет примарный порядок и порядок подполя делит порядок поля, то все подполя поля $GF(p^n)$ исчерпывются (с точностью до изоморфизма) полями $\{GF(p^d)\mid{d}|n\}$.

Задача 19.2:
Пусть $P$ - поле, $G<P^*$, $|G|<\infty$. Доказать, что группа $G$ циклическая.
Решение.
Так как $G$ конечная абелева группа, то по п. 2 теоремы 9.17 существует $a\in{G}$ такой, что $\ord{a}=\exp{G}$. Если поле $P$ конечно, то из этого факта следует доказываемое утверждение (ГЕН т. 2 стр. 221, теорема 4), однако, в мультипликативной группе бесконечного поля может быть конечная подгруппа, например $\{1,-1\}<\mathbb{Q}^*$. Так что из условий задачи вообще говоря не следует, что поле $P$ конечно.

Определение 19.1:
Элемент $a\in{G}F(q)$ называется примитивным, если $GF(q)^*=\langle{a}\rangle$.

Замечание 19.2:

1. Если $a$ примитивный элемент поля $GF(q)$, то $\Ord{a}=|GF(q)^*|=q-1$.
2. Из задачи 19. 2 следует, что в любом конечном поле есть примитивный элемент.
3. Обозначим $P:=GF(p^t)$, тогда $P$ простое алгебраическое расширение поля $P_0:=GF(p)$, при этом $P=P_0(a)$, где $a$ - примитивный элемент поля $P$.

19.2 Неприводимые многочлены над конечными полями.

Теорема 19.4:
Для любого конечного поля $P$ и любого $n\in\mathbb{N}$ существует неприводимый многочлен $f(x)\in{P}[x]$ такой, что $\deg{f(x)}=n$.

Доказательство:

Обозначим $F(x):=x^{q^n}-x\in{P}[x]$, $P'$ - МПР многочлена $F(x)$ над $P$, тогда по утверждению 19.1 $|P'|=q^n$. Пусть $\alpha$ примитивный элемент поля $P'$, тогда $P'=P(\alpha)$ и по утверждению 18.6 $[P':P]=\deg{m_{\alpha,P}}(x)$, где $[P':P]=\dim{P'}_P=\lg_{|P|}{|P'|}=n$. Так как $m_{\alpha,P}(x)$ непрводим над $P$, то он является искомым многочленом.

Теорема 19.5:
Пусть $P:=GF(q)$, многочлен $f(x)\in{P}[x]$ неприводим над $P$, $n:=\deg{f(x)}$, $F:=P(\alpha)$, где $\alpha$ такой, что $f(\alpha)=0$, тогда

1. поле $F$ является МПР многочлена $f(x)$ над $P$, причем все корни многочлена $f(x)$ над полем $F$ попарноразличны и имееют вид $$\alpha,\alpha^q,\alpha^{q^2},\ldots,\alpha^{q^{n-1}},$$
2. $f(x)|\left(x^{q^n}-x\right)$.

Доказательство:

1. Обозначим $f(x):=\sum_{i=0}^nf_ix^i$, где для любого $i\in\overline{0,n}$ $f_i\in{P}$. Из задачи 19.1 следует, что для любого $a\in{P}$ $a^q=a$, тогда по утверждению 17.7 для любого $s\in\mathbb{N}$ $$ f(\alpha^{q^s})=\sum_{i=0}^nf_i\bigl(\alpha^{q^s}\bigr)^i=\sum_{i=0}^nf_i^{q^s}(\alpha^i)^{q^s}=\sum_{i=0}^n(f_i\alpha^i)^{q^s}= \biggl(\sum_{i=0}^nf_i\alpha^i\biggr)^{q^s}=(f(\alpha))^{q^s}=0^{q^s}=0. $$ Таким образом, все элементы поля $F$ вида $$\alpha,\alpha^q,\alpha^{q^2},\ldots,\alpha^{q^{n-1}}$$ являются корнями многочлена $f(x)$. Докажем от противного, что они попарноразличны. Предположим, что существуют $s,r\in\mathbb{N}$ такие, что $n-1\geq{s}+r>s\geq{0}$ и $\alpha^{q^s}=\alpha^{q^{s+r}}$, тогда $$ 0=\alpha^{q^{s+r}}-\alpha^{q^s}=\bigl(\alpha^{q^r}\bigr)^{q^s}-\alpha^{q^s}=\bigl(\alpha^{q^r}-\alpha\bigr)^{q^s}\Rightarrow\alpha^{q^r}=\alpha. $$ Так как $f(\alpha)=0$ и $f(\alpha)$ неприводим, то следствию 18.3, утверждению 18.6, п. 2 следствия 18.6 $$ \exists{c}\in{P}^*:m_{\alpha,P}(x)=cf(x)\Rightarrow[F:P]=\deg{m_{\alpha,P}(x)}=n\Rightarrow \forall\beta\in{F}\,\exists{h}(x)\in{P}[x]:(\deg{h(x)}<n\,\wedge\,\beta=h(\alpha)). $$ Фиксируем $\beta\in{F}$, тогда по утверждению 17.7 $$ \exists{b}_0,\ldots,b_{n-1}\in{P}:\beta=\sum_{i=0}^{n-1}b_i\alpha^i\Rightarrow \beta^{q^r}=\sum_{i=0}^{n-1}(b_i\alpha^i)^{q^r}=\sum_{i=0}^{n-1}b_i^{q^r}\bigl(\alpha^{q^r}\bigr)^i=\sum_{i=0}^{n-1}b_i\alpha^i=\beta. $$ В силу произвола выбора $\beta\in{F}$ все элементы поля $F$ являются решениями уравнения $x^{q^r}-x$. Данное уравнение имеет не более $q^r$ различных решений, в то время как по п. 3 теоремы 19.1 $|F|=|P|^{[F:P]}=p^n$. Получено противоречие с условием $0<r<n$. Таким образом, поле $F$ содержит все корни многочлена $f(x)$, следовательно, $F$ МПР многочлена $f(x)$ над $P$.
Обозначим $G(x):=x^{q^n}-x$ Так как по п. 3 теоремы 19.1 $\alpha$ корень многочлена $G(x)$, то $(x-\alpha)|G(x)$. Так как $f(\alpha)=0$, то $(x-\alpha)|f(x)$, следовательно, многочлены $f(x)$ и $G(x)$ не взаимнопросты в кольце $F[x]$. Следовательно, они не взаимнопросты и в кольце $P[x]$, иначе нашлись бы многочлены $u(x),v(x)\in{P}[x]$ такие, что $u(x)f(x)+v(x)G(x)=e$, и это означало бы что многочлены $f(x)$ и $G(x)$ взаимнопросты в кольце $F[x]$. Таким образом, $(f(x),G(x))\neq{e}$ и $f(x)$ неприводим, следовательно, по п. 1 утверждения 7.7 $f(x)|G(x)$.

Следствие 19.2:
Пусть $P:=GF(q)$, $f(x)$ унитарный неприводимый над $P$ многочлен, $n:=\deg{f(x)}$, $f(x)\neq{x}$; $\alpha$,$\beta$ - корни многочлена $f(x)$ в поле разложения, тогда

1. $\Ord{\alpha}|(q^n-1)$,
2. $\forall{r}\in\overline{1,n-1}(\Ord{\alpha}\nmid(q^r-1))$,
3. $\Ord{\alpha}=\Ord{\beta}$.

Доказательство:

1. По п. 2 теоремы 19.5 $$ \bigl(f(x)|\bigl(x^{q^n}-x\bigr)\,\wedge\,f(x)\neq{x}\bigr)\Rightarrow{f}(x)|\bigl(x^{q^n-1}-e\bigr)\Rightarrow \alpha^{q^n-1}-e=0\Rightarrow\Ord{\alpha}|(q^n-1). $$
2. Докажем от противного. Предположим, что существует $r\in\overline{1,n-1}$ такое, что $\Ord{\alpha}|(q^r-1)$, тогда $\alpha^{q^r-1}=e$, то есть $\alpha^{q^r}=\alpha$, что противоречит п. 1 теоремы 19.5.
3. По п. 1 теоремы 19.5 существует $t\in\overline{0,n-1}$ такое, что $\beta=\alpha^{q^t}$, тогда $$\Ord{\beta}=\Ord{\alpha^{q^t}}=\frac{\Ord{\alpha}}{(\Ord{\alpha},q^t)}.$$ Предположим, что $\Ord{\alpha}\neq\Ord{\beta}$, тогда по пункту 1 $$(\Ord{\alpha},q^t)\neq1\Rightarrow(q\,|\Ord{\alpha}\,\wedge\,\Ord{\alpha}|(q^n-1))\Rightarrow{q}|(q^n-1)$$ получено противоречие с условием $q>1$.

Следствие 19.3:
Пусть $P:=GF(q)$, многочлен $f(x)\in{P}[x]$ неприводим над $P$, тогда $(f(x),f'(x))=e$.

Доказательство:

По п. 1 теоремы 19.5 многочлен $f(x)$ раскладывается на линейные множители и не иммет кратных корней над полем разложения, тогда по следствию 7.9 $(f(x),f'(x))=e$.

Следствие 19.4:
Пусть $P=GF(q)$, многочлены $f(x),g(x)\in{P}[x]$ неприводимы над $P$, $n:=\deg{f(x)}$, $m:=\deg{f(x)}$, $F:=P(\alpha)$, где $f(\alpha)=0$, тогда

1. если $m|n$, то поле $F$ является полем разложения многочлена $g(x)$ над $P$,
2. если $m\nmid{n}$, то поле $F$ не содержит корней многочлена $g(x)$.

Доказательство:

1. Аналогично доказательству п. 2 теоремы 19.5 можно показать, что $g(x)|\bigl(x^{q^m}-x\bigr)$. Тогда по замечанию 19.1 $$ m|n\Rightarrow{q}^m-1|q^n-1\Rightarrow\bigl(x^{q^m-1}-1\bigr)\bigl|\bigl(q^{q^n-1}-1\bigr)\Rightarrow \bigl(x^{q^m}-x\bigr)\bigl|\bigl(x^{q^n}-x\bigr)\Rightarrow{g}(x)\bigl|\bigl(x^{q^n}-x\bigr). $$ При доказательстве теоремы 19.5 было показано, что $|F|=q^n$, тогда по п. 3 теоремы 19.1 $F$ ПР многочлена $x^{q^n}-x$, тогда $F$ ПР многочлена $g(x)$.
2. Докажем от противного. Предположим, что существует $\gamma\in{F}$ такое, что $g(\gamma)=0$. Тогда по утверждению 18.6 $[P(\gamma):P]=m$, $P$ подполе $P(\gamma)$, а $P(\gamma)$ подполе $F$, тогда по теореме 18.2 $$[F:P]=[F:P(\gamma)][P(\gamma):P]=[F:P(\gamma)]m\Rightarrow{m}|n.$$ Таким образом, получено противоречие.

Пример 19.1:(непонятный пример)
$GF(2)(y)[x]$
$f(x)=x^2-y$ - неприводим над $GF(2)(y)$.
$f'(x)=0\Rightarrow(f(x),f'(x))=f(x)\neq{e}$.
$T$ - ПР $f(x)$ $\alpha\in{T}$, $f(\alpha)=0$.
$f(x)=(x-\alpha)^2$ над $T$.

previous contents next