previous contents next
7.5.3 Степенные ряды и их основные свойства.
Понятие степенных рядов будет вводится над полем комплексных чисел в целях общности изложения.
Определение 7.5.8: Пусть $\{a_n\}$ последовательность из $\mathbb{C}$, $a_0,z_0\in\mathbb{C}$, тогда степенным рядом
с центром в точке $z_0$ называют ряд вида
$$\sum_{n=0}^\infty(a_n(z-z_0)^n)=a_0+a_1(z-z_0)+a_2(z-z_0)^2+\dots$$
-
Степенной ряд можно рассматривать при фиксированном значении $z\in\mathbb{C}$, тогда это будет просто ряд из комплексных чисел. Задача состоит в том,
чтобы выяснить при каких значениях $z\in\mathbb{C}$ этот ряд сходится.
-
Степенной ряд можно также рассматривать, как функциональный ряд, то есть ряд составленный из степенных функций $f(z)=a_n(z-z_0)^n$, при этом суммой
ряда тоже будет функция.
Определение 7.5.9: Множеством сходимости степеннго ряда называется множество
$$K:=\left\{z\in\mathbb{C}\:\middle|\:\exists\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n(a_k(z-z_0)^k)\right\}$$
Согласно первой теореме Абеля структура множества $K$ - круг.
С помощью замены $t=z-z_0$ можно перенести центр ряда в точку 0, тогда
$$\forall{n}\in\mathbb{N}\left(\sum_{k=0}^n(a_k(z-z_0)^k)=\sum_{k=0}^n(a_kt^k)\right).$$
В дальнейшем основным объектом изучения будет ряд вида $\sum_{n=0}^\infty(a_nz^n)$.
Теорема 7.5.3: Первая теорема Абеля.
Если ряд $\sum_{n=0}^\infty(a_kz^k)$ сходится в точке $z_0\in\mathbb{C}$, то он сходится абсолютно в любой точке $z\in\mathbb{C}$ такой, что $|z|<|z_0|$.
Доказательство: Если $z_0=0$, то не существует таких $z\in\mathbb{C}$ что $|z|<|z_0|$ и, следовательно, утверждение доказано. Пусть далее
$z_0\neq0$.
Ряд $\sum_{n=0}^\infty(a_nz^n)$ сходитя, следовательно, общий член ряда стремится к нулю.
Следовательно, последовательность $\{a_nz^n\}$ ограничена, то есть
$$\exists{M}\in\mathbb{R}:(M>0\wedge\forall{n}\in\mathbb{N}_0(|a_nz^n|\leq{M}))$$
Фиксируем $z\in\mathbb{C}$ такой, что $|z|<|z_0|$, обозначим $q:=\frac{|z|}{|z_0|}$, тогда $0\leq{q}<1$. По пункту 4
утверждения 7.5.1
$$\forall{z}_1,z_2\in\mathbb{C}(|z_1z_2|=|z_1||z_2|)\Rightarrow\left(\forall{z}\in\mathbb{C},\forall{n}\in\mathbb{N}(|z^n|=|z|^n)\wedge
\forall{z}_1,z_2\in\mathbb{C}\left(z_2\neq0\Rightarrow\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=|z_1z_2^{-1}|=|z_1||z_2^{-1}|=|z_1||z_2|^{-1}=
\frac{|z_1|}{|z_2|}\right)\right)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\forall{n}\in\mathbb{N}_0\left(|a_nz^n|=\left|a_nz^n_0\left(\frac{z}{z_0}\right)^n\right|=
|a_nz^n_0|\left|\left(\frac{z}{z_0}\right)^n\right|=|a_nz^n_0|\left|\frac{z}{z_0}\right|^n\leq{M}q^n\right)$$
Так как $q<1$, то ряд $\sum_{n=0}^\infty(Mq^n)$ сходится, следовательно, по
основной теореме для знакопостоянных рядов сходится и ряд $\sum_{n=0}^\infty|a_nz^n|$.
Следствие 7.5.1: Если ряд $\sum_{n=0}^\infty(a_nz^n)$ расходится в точке $z_0\in\mathbb{C}$, то он расходится
в любой точке $z\in\mathbb{C}$ такой, что $|z_0|<|z|$.
Доказательство: Докажем от противного. Предположим, что существует $z_1\in\mathbb{C}$ такое, что $|z_0|<|z_1|$ и ряд сходится в точке $z_1$.
Тогда по теореме 7.5.3 ряд $\sum_{n=0}^\infty|a_nz^n|$ сходится в точке $z_0$, следовательно,
и ряд $\sum_{n=0}^\infty(a_nz^n)$ сходится в точке $z_0$, а это противоречит условию.
Определение 7.5.10: Если $K$ - это множество сходимости ряда, то радиусом сходимости ряда называется действительное
число $R:=\displaystyle\sup_{z\in{K}}|z|$.
Следствие 7.5.2: Если $R$ - это радиус сходимости ряда $\sum_{n=0}^\infty(a_nz^n)$, то для любого $z\in\mathbb{C}$
если $|z|<R$, то ряд $\sum_{n=0}^\infty(a_nz^n)$ сходится абсолютно, а если $|z|>R$, то расходится.
Доказательство: Если $\displaystyle|z|<R=\sup_{z\in{K}}|z|$, то по определению супремума
существует $z_0\in{K}$ такое, что $|z|<|z_0|$, тогда по первой теореме Абеля ряд $\sum_{n=0}^\infty(a_nz^n)$
сходится абсолютно в точке $z$.
Если $\displaystyle|z|>R=\sum_{z\in{K}}|z|$, то $z\notin{K}$, то есть ряд $\sum_{n=0}^\infty(a_nz^n)$ расходится в точке $|z|$.
На границе круга сходимости поведение ряда может быть самым разнообразным (расходится, сходится не абсолютно, сходится абсолютно).
Аналогично ведут себя степенные ряды на множестве действительных чисел. Рассмотрим, например, ряд $\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n}$.
Это степенной ряд, у которого для любого $n\in\mathbb{N}$ $a_n=\frac1{n}$. Известно,
что ряд $\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n}$ сходится абсолютно при $|x|<1$ и расходится при $|x|>1$, т. е. его радиус сходимости равен 1.
При этом на границах множества сходимости ряд ведет себя по разному: расходится в точке 1 и
сходится не абсолютно в точке -1.
Пример 7.5.1: Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^\infty{c}_n=\sum_{n=0}^\infty(nz^{2n+1})$
Это степенной ряд при $a_n=\begin{cases}n, & n=2k+1\\ 0, & n=2k\end{cases}$ для любого $k\in\mathbb{N}_0$.
Проверим ряд $\sum_{n=0}^\infty{c}_n$ на абсолютную сходимость. При $z=0$ ряд, очевидно, сходится к нулю. Для любого $z\neq0$ применим
признак Даламбера.
$$\lim_{n\to\infty}\frac{|c_{n+1}|}{|c_n|}=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)z^{2n+3}}{nz^{2n+1}}\right|=
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{n+1}{n}z^2\right|=|z^2|=|z|^2$$
Таким образом ряд $\sum_{n=0}^\infty{c}_n$ сходится абсолютно, если $|z|^2<1$, то есть при $|z|<1$. При $z_0:=(1,0)=1$, ряд, очевидно, расходится,
следовательно, он расходится для любого $z\in\mathbb{C}$ такого, что $|z|>|z_0|=1$, то есть радиус сходимости ряда
$\sum_{n=0}^\infty{c}_n$ равен 1.
Теорема 7.5.4: Формула Коши - Адамара (Жак Адамар 1856 - 1963).
Если $R$ радиус сходимости ряда $\sum_{n=0}^\infty(a_nz^n)$, то
- $\displaystyle\varlimsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=0\Rightarrow{R}=+\infty$
- $\displaystyle\varlimsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=+\infty\Rightarrow{R}=0$
- $\displaystyle0<\varlimsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}<+\infty\Rightarrow{R}=\frac1{\varlimsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$
Доказательство:
-
Пусть $\displaystyle\varlimsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=0$ покажем, что в этом случае ряд $\sum_{n=0}^\infty(a_nz^n)$ сходится абсолютно для любого
$z\in\mathbb{C}$. Фиксируем $z\neq0$ и $\varepsilon\in(0,1)$, тогда по
свойствам верхнего и нижнего пределов числовой последовательности
$$\forall{n\in\mathbb{N}}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\geq0\right)\Rightarrow
0=\varlimsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\geq\varliminf_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\geq0\Rightarrow
\varlimsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\varliminf_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=0\Rightarrow\exists\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=0\Rightarrow$$
$$\Rightarrow\exists{n}_0\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_0\left(\sqrt[n]{|a_n|}<\frac{\varepsilon}{|z|}\right)\Rightarrow
\forall{n}>n_0\left(|a_nz^n|<\varepsilon^n\right)$$
Так как $\varepsilon<1$, то ряд $\sum_{n=1}^\infty\varepsilon^n$ сходится,
следовательно, ряд $\sum_{n=0}^\infty(a_nz^n)$ сходится абсолютно.
-
Пусть $\displaystyle\varlimsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=+\infty$, тогда последовательность
$\sqrt[n]{|a_n|}$ нe ограничена сверху, следовательно для любого $z\neq0$, существует
последовательность $\{n_k\}$ из $\mathbb{N}$ такая, что
$$\lim_{k\to\infty}\sqrt[n_k]{|a_{n_k}|}=+\infty\Rightarrow
\exists{k}_0\in\mathbb{N}:\forall{k}>k_0\left(\sqrt[n_k]{|a_{n_k}|}>\frac1{|z|}\right)\Rightarrow
\forall{k}>k_0\left(\left|z^{n_k}a_{n_k}\right|>1\right)$$
То есть общий член ряда $\sum_{n=0}^\infty(a_nz^n)$ не стремится к нулю, следовательно, ряд расходится
для любого $z\neq0$.
-
Пусть существует $\displaystyle\rho:=\varlimsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\in(0,+\infty)$.
-
Если $|z|<\frac1{\rho}$, то $\rho<\frac1{|z|}$, следовательно, существует $\varepsilon>0$ такое, что $\rho+\varepsilon<\frac1{|z|}$,
то есть $|z|<\frac1{\rho+\varepsilon}$. Обозначим $q:=|z|(\rho+\varepsilon)<1$, тогда
$$\varlimsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\rho<\rho+\varepsilon\Rightarrow
\exists{n}_0\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_0\left(\sqrt[n]{|a_n|}<\rho+\varepsilon\right)\Rightarrow
\forall{n}>n_0\left(|z|\sqrt[n]{|a_n|}<|z|(\rho+\varepsilon)=q\right)\Rightarrow\forall{n}>n_0(|a_nz^n|<q^n)$$
Так как $q<1$, то ряд $\sum_{n=0}^\infty{q}^n$ сходится,
следовательно, ряд $\sum_{n=0}^\infty(a_nz^n)$ сходится абсолютно.
-
Если $|z|>\frac1{\rho}$, то аналогично подпункту (a) существует $\varepsilon>0$ такое, что $|z|>\frac1{\rho-\varepsilon}$.
Обозначим $q:=|z|(\rho-\varepsilon)>1$. Так верхний предел последовательности $\{\sqrt[n]{|a_n|}\}$ конечен,
то она ограничена сверху, тогда существует
последовательность $\{n_k\}$ из $\mathbb{N}$ такая, что
$$\lim_{k\to\infty}\sqrt[n_k]{|a_{n_k}|}=\rho>\rho-\varepsilon\Rightarrow
\exists{k}_0\in\mathbb{N}:\forall{k}>k_0\left(\sqrt[n_k]{|a_{n_k}|}<\rho-\varepsilon\right)\Rightarrow
\forall{k}>k_0\left(|z|\sqrt[n_k]{|a_{n_k}|}>|z|(\rho-\varepsilon)=q\right)\Rightarrow\forall{k}>k_0(|a_{n_k}z^{n_k}|>q^{n_k}>1)$$
То есть общий член ряда $\sum_{n=0}^\infty(a_nz^n)$ не стремится к нулю, следовательно, ряд расходится.
Таким образом из подпунктов (a) и (b) следует, что радиус сходимости ряда $\sum_{n=0}^\infty(a_nz^n)$ равен
$\displaystyle\frac1{\rho}=\frac1{\varlimsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$.
Полученная в теореме формула $\displaystyle{R}=\frac1{\varlimsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$ универсальна, но часто трудно проверяема.
Следствие 7.5.3: Если $R$ радиус сходимости ряда $\sum_{n=0}^\infty(a_nz^n)$ и существует предел
$\displaystyle\rho:=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\in\overline{\mathbb{R}}$, то
- $\displaystyle(\rho=0\Rightarrow{R}=+\infty)\wedge(\rho=+\infty\Rightarrow{R}=0)\wedge\left(\rho\in(0,+\infty)\Rightarrow{R}=\frac1{\rho}\right)$,
- $\displaystyle\left(\forall{n}\in\mathbb{N}(a_n\neq0)\wedge\exists{K}:=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\in[0,+\infty]\right)\Rightarrow
{R}=K$,
- радиус сходимости рядов $\sum_{n=1}^\infty(na_nz^{n-1})$, $\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\frac{z^{n+1}}{n+1}\right)$ равен $R$.
Доказательство:
-
Так как существует предел $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$, то
$\displaystyle\varlimsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$. Таким образом, утверждение следует из теоремы 7.5.4.
-
- Пусть $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=K\in(0,+\infty)$.
После доказательства признака Даламбера сходимости знакопостоянных рядов было показано,
что если для любого $n\in\mathbb{N}$ $a_n>0$, то из существования конечного предела $\displaystyle{q}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$
следует существование предела $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=q$. Следовательно
$$K=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\in(0,+\infty)\Rightarrow
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac1{K}\Rightarrow{R}=K$$
- Пусть $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=+\infty$.
Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда существует $M>0$ такое, что $\frac1{M}<\varepsilon$.
$$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=+\infty\Rightarrow
\exists{n}_0\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_0\left(\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|>M\right)\Rightarrow
\forall{n}>n_0\left(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<\frac1{M}<\varepsilon\right)\Rightarrow
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0\Rightarrow\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=0\Rightarrow{R}=+\infty.$$
- Пусть $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=0$.
Докажем, что в этом случае последовательность $\{\sqrt[n]{|a_n|}\}$ не ограничена. Фиксируем $M>1$.
$$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=0\Rightarrow
\exists{n}_0\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_0\left(\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|<\frac1{M^2}\right)\Rightarrow
\forall{n}>n_0\left(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>M^2\right)\Rightarrow
\forall{n}>n_0\left(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\frac{a_n}{a_{n-1}}\dots\frac{a_{n_0+1}}{a_{n_0}}\right|=\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n_0}}\right|>
M^{2(n-n_0)}\right)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\forall{n}>n_0\left(|a_{n+1}|>|a_{n_0}|M^{2(n-n_0)}\right)\Rightarrow
\forall{n}>n_0\left(\sqrt[n]{|a_{n+1}|}>\sqrt[n]{\frac{|a_{n_0}|}{M^{2n_0}}}M^2\right)$$
$$\left(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]\frac{|a_{n_0}|}{M^{2n_0}}=1\wedge{M}>1\right)\Rightarrow
\exists{n}_1\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_1\left(\left|\sqrt[n]\frac{|a_{n_0}|}{M^{2n_0}}-1\right|<\frac{M-1}{M}\right)\Rightarrow
\forall{n}>n_1\left(\sqrt[n]\frac{|a_{n_0}|}{M^{2n_0}}-1>-\frac{M-1}{M}\right)\Rightarrow$$
$$\Rightarrow\forall{n}>n_1\left(\sqrt[n]\frac{|a_{n_0}|}{M^{2n_0}}M-M>-M+1\right)\Rightarrow
\forall{n}>n_1\left(\sqrt[n]\frac{|a_{n_0}|}{M^{2n_0}}M>1\right)\Rightarrow
\forall{n}>\max\{n_0,n_1\}\left(\sqrt[n]{|a_{n+1}|}>\sqrt[n]\frac{|a_{n_0}|}{M^{2n_0}}M^2>M\right)\Rightarrow
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=+\infty\Rightarrow{R}=0$$
-
Докажем что, если $\{x_n\}$, $\{y_n\}$ последовательности из $\mathbb{R}$ и существует конечный предел предел $\displaystyle{X}:=\lim_{n\to\infty}x_n>0$,
то $\displaystyle\varlimsup_{n\to\infty}(x_ny_n)=\lim_{n\to\infty}x_n\varlimsup_{n\to\infty}y_n$.
Пусть $\displaystyle\varlimsup_{n\to\infty}y_n=\infty$, так как существует конечный предел $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n>0$, то последовательность
$\{x_ny_n\}$ не ограничена в том же смысле, что и последовательность $\{y_n\}$, то есть
$\displaystyle\varlimsup_{n\to\infty}(x_ny_n)=\infty=\lim_{n\to\infty}x_n\varlimsup_{n\to\infty}y_n$.
Пусть $\displaystyle\varlimsup_{n\to\infty}y_n\in\mathbb{R}$, значит последовательность $\{y_n\}$
ограничена, то есть существует $M\in\mathbb{R}$ такое, что для любого $n\in\mathbb{N}$ $|y_n|<M$. Фиксируем $\varepsilon>0$.
$$\lim_{n\to\infty}x_n=X\Rightarrow\exists{n}_1\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_1\left(|x_n-X|<\frac{X\varepsilon}{2M}\right)\Rightarrow
\forall{n}>n_0\left(\left|\frac{x_n}{X}-1\right|<\frac{\varepsilon}{2M}\right)\Rightarrow
\forall{n}>n_0\left(\left|\frac{x_n}{X}\right|<1+\frac{\varepsilon}{2M}\right)$$
Так как верхние пределы $\displaystyle\varlimsup_{n\to\infty}x_n$ и $\displaystyle\varlimsup_{n\to\infty}y_n$ конечны, то конечен и верхний предел
$A:=\displaystyle\varlimsup_{n\to\infty}(x_ny_n)$, тогда существует последовательность $\{n_k\}$ из $\mathbb{N}$ такая, что
$$\lim_{k\to\infty}(x_{n_k}y_{n_k})=A\Rightarrow
\exists{k}_0\in\mathbb{N}:\left(n_{k_0}>n_1\wedge\forall{k}>k_0\left(|x_{n_k}y_{n_k}-A|<X\frac{\varepsilon}{2}\right)\right)\Rightarrow
\forall{k}>k_0\left(\left|\frac{x_{n_k}y_{n_k}}{X}-\frac{A}{X}\right|<\frac{\varepsilon}{2}\right)\Rightarrow$$
$$\Rightarrow\forall{k}>k_0\left(\left|\left(1+\frac{\varepsilon}{2M}\right)y_{n_k}-\frac{A}{X}\right|=
\left|y_{n_k}+\frac{y_{n_k}\varepsilon}{2M}-\frac{A}{X}\right|<\frac{\varepsilon}{2}\right)\Rightarrow
\forall{k}>k_0\left(\left|y_{n_k}-\frac{A}{X}\right|-\left|\frac{y_{n_k}\varepsilon}{2M}\right|<\frac{\varepsilon}{2}\right)\Rightarrow
\forall{k}>k_0\left(\left|y_{n_k}-\frac{A}{X}\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\right)\Rightarrow
\lim_{k\to\infty}y_{n_k}=\frac{A}{X}$$
Тогда $\displaystyle\varlimsup_{n\to\infty}y_{n_k}=\frac{A}{X}$, так как если бы существовала подпоследовательность $\{y_{n_s}\}$ имеющая предел больший
чем $\frac{A}{X}$, то это означало бы, что $A$ не является верхним пределом последовательности $\{x_{n_k}y_{n_k}\}$.
При любом фиксированном $z\neq0$ ряды $\sum_{n=1}^\infty(na_nz^{n-1})$ и $\sum_{n=1}^\infty(na_nz^n)$ сходятся и расходятся одновременно, то есть имеют
одинаковые радиус сходимости, так как один получается из другого умножением на ненулевую константу $z$ и $\frac1{z}$ соответственно.
Вычислим радиус сходимости ряда $\sum_{n=1}^\infty(na_nz^n)$. По доказанному выше имеем
$$\varlimsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{n|a_n|}=\varlimsup_{n\to\infty}\left(\sqrt[n]{n}\sqrt[n]{|a_n|}\right)=
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}\varlimsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\varlimsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac1{R},$$
так как $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$. Следовательно, радиус сходимости ряда
$\sum_{n=1}^\infty(na_nz^n)$ равен $R$.
Вычислим аналогично радиус сходимости ряда $\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\frac{z^n}{n+1}\right)$.
$$\varlimsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac1{n+1}|a_n|}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]\frac1{n+1}\varlimsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=
\varlimsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac1{R}$$
Следовательно, радиус сходимости ряда $\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\frac{z^n}{n+1}\right)$ равен $R$.
Пример 7.5.2: Исследуем на сходимость ряд $\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}$.
Применим пункт 2 следствия 7.5.3
$$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)!}{n!}=\lim_{n\to\infty}(n+1)=+\infty$$
Таким образом радиус сходимости ряда равен $+\infty$, ряд сходится абсолютно при любом $z\in\mathbb{C}$.
Пример 7.5.3: Исследуем на сходимость ряд $\sum_{n=1}^\infty(n^nz^n)$.
Применим пункт 1 следствия 7.5.3
$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^n}=\lim_{n\to\infty}n=+\infty$$
Таким образом радиус сходимости ряда равен 0, ряд сходится абсолютно только при $z=0$ при остальных $z$ расходится.
Пример 7.5.4: Исследуем на сходимость ряд $\sum_{n=1}^\infty\frac{z^n}{n^p}$.
Применим пункт 2 следствия 7.5.3
$$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^p}{n^p}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{n}\right)^p=1$$
Таким образом радиус сходимости ряда равен 1, ряд сходится абсолютно при $|z|<1$ и расходится при $|z|>1$. Поведение на границе круга сходимости
зависит от значения $p$.
Например, в точке $z=(1,0)=1$ $\sum_{n=1}^\infty\frac{z^n}{n^p}=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^p}$,
следовательно, ряд сходится абсолютно, при $p>1$ и расходится при $p\leq1$.
В точке $z=(-1,0)=-1$ $\sum_{n=1}^\infty\frac{z^n}{n^p}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^p}$, следовательно ряд сходится абсолютно при $p<1$,
сходится не абсолютно при $0<p\leq1$ и расходится при $p<0$.
Задача 7.5.1: Доказать, что при любом значении $p\in\mathbb{R}$ если ряд $\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n^p}$
сходится абсолютно на одном конце интервала сходимости, то он сходится абсолютно и на другом конце.
Решение:
Интервал сходимости степенного ряда $\sum_{n=1}^\infty(a_nx^n)$ с радиусом сходимости $R$ имеет вид $(-R,R)$. Так как $|R|=|-R|$,
то ряд $\sum_{n=1}^\infty|a_nR^n|$ сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд $\sum_{n=1}^\infty|a_n(-R)^n|$.
Для ряда из вещественных чисел обязательным является исследование сходимости ряда на концах интервала сходимости.
Обобщенным степенным рядом называется ряд вида $\sum_{n=1}^\infty(a_n\varphi(x)^n)$. Если положить $y:=\varphi(x)$, тогда исследование
сходимости обобщенного степенного ряда сводится к исследованию сходимости степенного ряда $\sum_{n=1}^\infty(a_ny^n)$ с последующей интерпретацией
полученного результата на языке исходной переменной $x=\varphi^{-1}(y)$.
То есть если в результате исследования ряда $\sum_{n=1}^\infty(a_ny^n)$ выяснится, что его радиус сходимости равен $R$, то множеством сходимости ряда
$\sum_{n=1}^\infty(a_n\varphi(x)^n)$ будет множество $\varphi^{-1}(\{Y\in\mathbb{C}\:|\:|y|<R\})$, которое не обязательно будет кругом.
previous contents next