15.1.3 Полные ортогональные системы.

Определение 15.1.7: Система векторов $S=\{y_{\alpha}\mid\alpha\in{I}\}$ из векторного пространства $H$ называется полной в множестве $X\subset{H}$, если $$\forall{x}\in{X}\,\forall\varepsilon>0\left(\exists{y}:=\sum_{j=1}^n(\beta_jy_{\alpha_j})\in\mathcal{Lin}\{S\}\colon\|x-y\|<\varepsilon\right).$$ Другими словами, система $S$ полна в множестве $X$, если $\mathcal{Lin}\{S\}$ всюду плотное множество в $X$, то есть $X\subset\overline{\mathcal{Lin}\{S\}}$.

Определение 15.1.8: Пусть $\{a_n\}$ последовательность векторов из евклидова пространства $H$, $S\in{H}$, тогда будем говорить, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ сходится к $S$ в $H$, если существует предел $$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^na_k=S\sim\forall\varepsilon>0\,\exists{n}_0=n_0(\varepsilon)\in\mathbb{N}\colon\forall{n}>{n}_0 \left(\left\|\sum_{k=1}^na_k-S\right\|<\varepsilon\right).$$

Определение 15.1.9: Система векторов $\{y_n\}$ из евклидова пространства $H$ над $\mathbb{P}$ называется базисом $H$, если

1. система $\{y_n\}$ линейно не зависима,
2. $\forall{x}\in{H}\,\exists\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in{P}\colon{x}=\sum_{n=1}^{\infty}(\alpha_ny_n)$

Определение 15.1.10: Система векторов $\{e_n\}$ из евклидова пространства $H$ называется замкнутой, если для нее выполняется равенство Парсеваля $$\forall{x}\in{H}\left(\|x\|^2=\sum_{n=1}^{\infty}(|x_n|^2(e_n,e_n))\right)$$ где $x_n$ - $n$-тый коэффициент Фурье для вектора $x$ по системе $\{e_n\}$.

В конечномерном евклидовом пространстве система является полной тогда и только тогда, когда она является базисом. В бесконечномерном пространстве это утверждение не выполняется.

Пример 15.1.3: Пусть $H:=C[-1,1]$ евклидово пространство вещественных функций непрерывных на отрезке $[-1,1]$. Скалярное произведение определено как $(f,g):=\int_{-1}^1f(x)g(x)\,dx$, тогда $\|f\|=\left(\int_{-1}^1f^2(x)\,dx\right)^{1/2}$.
Рассмотрим систему $S=\{1,x,x^2,\ldots,x^n\ldots\}$ из $H$.
Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда по теореме Вейерштрасса - Стоуна $$\exists{P}_{\varepsilon}(x)=\sum_{k=0}^n(a_kx^k)\in\mathcal{Lin}\{S\}\colon \forall{x}\in[a,b]\left(|f(x)-P_{\varepsilon}|<\frac{\varepsilon}{\sqrt2}\right)\Rightarrow \|f-P_{\varepsilon}\|=\left(\int_{-1}^1(f(x)-P_{\varepsilon}(x))^2\right)^{1/2}<\left(\int_{-1}^1\frac{\varepsilon^2}{2}\,dx\right)^{1/2}=\varepsilon$$ Таким образом система векторов $S$ полна в $H$.
Докажем от противного, что не смотря на то, что $S$ полна в $H$ она не является базисом $H$. Предположим, что $S$ базис, то есть для любой функции $f(x)\in{C}[-1,1]$ существует последовательность $\{\alpha_n\}$ из $\mathbb{R}$ такая, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(\alpha_nx^n)$ сходится к $f(x)$ в $H$, то есть существует предел $\lim_{n\to\infty}\|f(x)-\sum_{k=1}^n(\alpha_kx^k)\|=0$.
Необходимым условием сходимости ряда является стремление к нулю его общего члена, значит должен существовать предел $\lim_{n\to\infty}\|\alpha_nx^n\|=0$, где $\displaystyle\|\alpha_nx^n\|=\alpha_n^2\int_{-1}^1x^{2n}\,dx=\frac{2\alpha_n^2}{2n+1}$, следовательно, $$\exists{n}_0\in\mathbb{N}\colon\forall{n}>n_0\left(\frac{2\alpha_n^2}{2n+1}<{2}\right)\Rightarrow\forall{n}>n_0(|\alpha_n|<\sqrt{2n+1})\Rightarrow \forall{n}>n_0\forall{x}\in[-1,1](|\alpha_nx^n|<\sqrt{2n+1}|x^n|).$$ Так как радиус сходимости ряда $\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{2n+1}|x^n|)$ равен 1, то радиус сходимости ряда $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(\alpha_nx^n)$ так же равен 1. Таким образом функция $S(x)\in{C}^{\infty}(-1,1)$ (см., например, Фихтенгольц т. 2, стр. 447-449). С другой стороны $$\|f-S\|=0\Rightarrow\|f-S\|^2=0\Rightarrow\int_{-1}^1(f(x)-S(x))^2\,dx=0\Rightarrow{f}(x)-S(x)\equiv0\Rightarrow{f}(x)=S(x).$$ Получено противоречие, так как в отличии от функции $S(x)$ функция $f(x)$ может и не быть бесконечное число раз дифференцируема.
Таким образом система векторов $S$ полна но не является базисом.
Заметим, что система $S$ не ортогональна. Если же система полна и ортогональна, то она необходимо является базисом (следствие 15.1.1). Ортогонализация системы $S$ даст в результате систему многочленов Лежандра (Кудрявцев т. 2, стр. 333).

Лемма 15.1.1: Непрерывность скалярного произведения.
Пусть $H$ евклидово пространство над полем $\mathbb{P}$, $f(x,y):=(x,y)\colon{H}^2\to\mathbb{P}$ скалярное произведение $H$, тогда

1. функция $f(x,y)$ непрерывна по совокупности переменных,
2. если $\{z_n\}$ последовательность из $H$, $x=\sum_{n=1}^{\infty}z_n$, $y\in{H}$, то $(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}(z_n,y)$,
3. если $\{e_n\}$ ортонормированная система в $H$; $\{x_n\}$, $\{y_n\}$ - последовательности из $\mathbb{P}$; $x:=\sum_{n=1}^{\infty}(x_ne_n)$, $y:=\sum_{n=1}^{\infty}(y_ne_n)$, то $(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}(x_n\overline{y}_n)$.

Доказательство:

1. $$|f(x+\Delta{x},y+\Delta{y})-f(x,y)|=|(x+\Delta{x},y+\Delta{y})-(x,y)|=|(x,\Delta{y})+(\Delta{x},\Delta{y})+(\Delta{x},y)|\leq |(x,\Delta{y})|+|(\Delta{x},\Delta{y})|+|(\Delta{x},y)|\leq$$ $$\leq\|x\|\|\Delta{y}\|+\|\Delta{x}\|\|\Delta{y}\|+\|\Delta{x}\|\|y\|= o(1),\Delta{x}\to0,\Delta{y}\to0\Rightarrow\lim_{\substack{\Delta{x}\to0\\\Delta{y}\to0}}f(x+\Delta{x},y+\Delta{y})=f(x,y).$$
2. Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда $\begin{multline} \exists{n}_0\in\mathbb{N}\colon\forall{n}>{n}_0\left(\left\|\sum_{k=n+1}^{\infty}z_k\right\|<\frac{\varepsilon}{\|y\|}\right)\Rightarrow\\ \Rightarrow\forall{n}>n_0\left(\left|\sum_{k=1}^n(z_k,y)-(x,y)\right|=\left|\sum_{k=1}^n(z_k,y)-\left(\sum_{n=1}^{\infty}z_n,y\right)\right|= \left|\sum_{k=1}^n(z_k,y)-\left(\sum_{k=1}^nz_k,y\right)-\left(\sum_{k=n+1}^{\infty}z_k,y\right)\right|= \left\|\left(\sum_{k=n+1}^{\infty}z_k,y\right)\right\|\leq\left\|\sum_{k=n+1}^{\infty}z_k\right\|\|y\|<\frac{\varepsilon\|y\|}{\|y\|}= \varepsilon\right)\Rightarrow\\\Rightarrow\sum_{n=1}^{\infty}(z_n,y)=\lim_{n\to\infty}(z_n,y)=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n(z_k,y)=(x,y). \end{multline}$
3. Для доказательства данного пункта достаточно применить два раза пункт 2. $$(x,y)=\left(\sum_{n=1}^{\infty}(x_ne_n),\sum_{m=1}^{\infty}(y_me_m)\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(x_ne_n,\sum_{m=1}^{\infty}(y_me_m)\right)= \sum_{n=1}^{\infty}\left(x_n\overline{\left(\sum_{m=1}^{\infty}(y_me_m),e_n\right)}\right)= \sum_{n=1}^{\infty}\left(x_n\sum_{m=1}^{\infty}\overline{(y_m(e_m,e_n))}\right).$$ В силу ортогональности системы $\{e_n\}$ для любых $m\neq{n}$ из $\mathbb{N}$ $(e_m,e_n)=0$. В силу ортонормированности системы $\{e_n\}$ для любого $n\in\mathbb{N}$ $(e_n,e_n)=\|e_n\|^2=1$, следовательно, $(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}(x_n,\overline{y}_n)$.

Теорема 15.1.3: Условия полноты ортонормированной системы.
Пусть $H$ евклидово пространство над $\mathbb{P}$, $\{e_n\}$ не более чем счетная ортонормированная система векторов из $H$, тогда следующие утверждения эквивалентны

1. система $\{e_n\}$ полна в $H$,
2. $\forall{x}\in{H}\left(x=\sum_{n=1}^{\infty}((x,e_n)e_n):=\sum_{n=1}^{\infty}(x_ne_n)\right)$,
3. система $\{e_n\}$ замкнута в $H$.

Доказательство:

• $1)\Rightarrow2)$
  Фиксируем $\varepsilon>0$. Система $\{e_n\}$ полна, следовательно $$\forall{x}\in{H}\,\exists{T}_{\varepsilon}(x):=\sum_{k=1}^{n(\varepsilon)}(\alpha_ke_k)\colon\|T_{\varepsilon}(x)-x\|<\varepsilon.$$ Тогда по пункту 3 теоремы 15.1.2 $\left\|\sum_{k=1}^{n(\varepsilon)}(x_ke_k)-x\right\|\leq\|T_{\varepsilon}(x)-x\|<\varepsilon$.
  Для любого $n>n(\varepsilon)$ $T_{\varepsilon}(x)$ является линейной комбинацией системы $\{e_1,\ldots,e_n\}$, где все коэффициенты $\alpha_k$ при $k>n(\varepsilon)$ можно положить равными 0. Следовательно, по пункту 3 теоремы 15.1.2 $$\forall{n}>n(\varepsilon)\left(\left\|\sum_{k=1}^n(x_ke_k)-x\right\|\leq\|T_{\varepsilon}(x)-x\|<\varepsilon\right)\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}(x_ne_n)=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n(x_ke_k)=x.$$ Так как для любого $n\in\mathbb{N}$ $n$-тый коэффициент Фурье $x_n$ вектора $x$ по ортонормированной системе $\{e_n\}$ равен $(x,e_n)$, то утверждение доказано.
• $2)\Rightarrow3)$
  Фиксируем $x\in{H}$, тогда по пункту 2 условий $x=\sum_{n=1}^{\infty}(x_ne_n)$. По пункту 3 леммы 15.1.1 $$\|x\|^2=(x,x)=\left(\sum_{n=1}^{\infty}(x_ne_n),\sum_{n=1}^{\infty}(x_ne_n)\right)=\sum_{n=1}^{\infty}(x_n\overline{x}_n)=\sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^2.$$ Таким образом для любой ортонормированной системы из $H$ выполняется равенство Парсеваля, то есть любая ортонормированная система из $H$ замкнута.
• $3)\Rightarrow1)$
  Поскольку по пункту 1 теоремы 15.1.2 $(x-S_n)\perp{S}_n$, то $$\|x\|^2=\|x-S_n\|^2+\|S_n\|^2\Rightarrow\|x-S_n\|^2=\left\|x-\sum_{k=1}^n(x_ke_k)\right\|^2=\|x\|^2-\left\|\sum_{k=1}^n(x_ke_k)\right\|^2= \|x\|^2-\sum_{k=1}^n|x_k|^2=o(1),n\to\infty,$$ где последнее равенство в силу пункта 3 условия. Таким образом существует предел $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n(x_ke_k)=x$, то есть $$\forall{\varepsilon}>0\,\exists{n}_0\in\mathbb{N}\colon\forall{n}>{n}_0\left(\left\|x-\sum_{k=1}^n(x_ke_k)\right\|<\varepsilon\right).$$

Следствие 15.1.1: Не более чем счетная ортонормированная система векторов полна тогда и только тогда, когда она является базисом.

Доказательство: Следует из пунктов 1, 2 теоремы 15.1.3.

Лемма 15.1.2: Пусть $H$ полное евклидово пространство, $\{e_n\}$ не более чем счетная ортонормированная система векторов из $H$, тогда для любого $x\in{H}$ такого, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(x_ne_n)$ сходится $h:=\left(x-\sum_{n=1}^{\infty}(x_ne_n)\right)\perp{e}_k$ для любого $k\in\mathbb{N}$.

Доказательство: Фиксируем $x\in{H}$, тогда по пункту 5 теоремы 15.1.2 $\sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^2\leq\|x\|^2$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^2$ сходится, следовательно, по критерию Коши $$\forall\varepsilon>0\,\exists{n}_0\in\mathbb{N}\colon\forall{m}\geq{n}>n_0\left(\sum_{k=n}^m|x_k|^2<\varepsilon\right)\Rightarrow \forall{m}\geq{n}>n_0\left(\|S_m-S_{n-1}\|^2=\left\|\sum_{k=n}^m(x_ke_k)\right\|^2=\sum_{k=n}^m|x_k|^2<\varepsilon\right).$$ Таким образом последовательность $\{S_n\}$ частичных сумм ряда $\sum_{n=1}^{\infty}(x_ne_n)$ фундаментальна. Так как пространство $H$ полное, то последовательность $\{S_n\}$ сходится, то есть существует предел $x_0:=\sum_{n=1}^{\infty}(x_ne_n)=\lim_{n\to\infty}S_n\in{H}$. Тогда $$\forall{k}\in\mathbb{N}(((x-x_0),e_k)=(x,e_k)-(x_0,e_k)=x_k-\sum_{n=1}^{\infty}(x_n(e_n,e_k))=x_k-x_k=0)$$ где множитель $e_k$ можно занести под знак суммы в силу пункта 2 леммы 15.1.1 и предпоследнее неравенство в силу того, что для любых $n\neq{k}$ $(e_n,e_k)=0$ и $(e_k,e_k)=1$.

Теорема 15.1.4: Критерий полноты ортонормированной системы в полном евклидовом пространстве.
Пусть $\{e_n\}$ ортонормированная система векторов в полном евклидовом пространстве $H$, тогда $\{e_n\}$ полна в $H$ тогда и только тогда, когда для любого ненулевого $x\in{H}$ существует $n\in\mathbb{N}$ такое, что $(x,e_n)\neq0$.

Доказательство:
$\Rightarrow)$
Докажем от противного, пусть $x\in{H}$ $x\neq0$ такой, что для любого $n\in\mathbb{N}$ $x_n=(x,e_n)=0$. Но по теореме 15.1.3 в силу полноты системы $\{e_n\}$ имеем $x=\sum_{n=1}^{\infty}(x_ne_n)=0$.
$\Leftarrow)$
Фиксируем $x\in{H}$, тогда по лемме 15.1.2 ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(x_ne_n)$ сходится. Обозначим $x_0:=\sum_{n=1}^{\infty}(x_ne_n)$, $h:=x-x_0$. Тогда по лемме 15.1.2 и по условию теоремы $$\forall{n}\in\mathbb{N}(h\perp{e}_n)\Rightarrow{h}=0\Rightarrow{x}=x_0\Rightarrow{x}=\sum_{n=1}^{\infty}(x_ne_n).$$ Таким образом $\{e_n\}$ базис и, следовательно, полна по следствию 15.1.1.

previous contents next