15.2 Тригонометрические ряды Фурье.

15.2.1 Определение тригонометрического ряд Фурье (ТРФ).

Определение 15.2.1: Тригонометрическим рядом Фурье функции $f(x)\in\mathcal{R}_2[-\pi,\pi]$ называется ряд Фурье этой функции в пространстве $H:=\mathcal{R}_2[-\pi,\pi]$ по системе $\{e_n\}:=\{1,\sin{x},\cos{x},\ldots,\sin{nx},\cos{nx},\ldots\}=\{\cos{nx},\sin{kx}\mid{n}\in\mathbb{N}_0,k\in\mathbb{N}\}$.

Согласно примеру примеру 15.1.2 коэффициенты ТРФ функции $f(x)$ равны $$\begin{cases} a_n=\frac1{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos{nx}\,dx&,n\in\mathbb{N}_0\\ b_n=\frac1{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin{nx}\,dx&,n\in\mathbb{N} \end{cases}$$ и сам ТРФ выглядит следующим образом $$f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})\qquad(1)$$ Здесь первый коэффициент делится пополам, потому что для любого $n\in\mathbb{N}$ $\|e_n\|^2=\pi$ и только при $n=0$ $\|e_0\|=\|1\|=\int_{-\pi}^{\pi}\,dx=2\pi$.

В случае если коэффициенты $a_n$, $b_n$ являются коэффициентами Фурье для некоторой функции $f(x)\in\mathcal{R}_2[-\pi,\pi]$, то сходимость ряда (1) гарантируется неравенством Бесселя $$\sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^2\leq\|x\|^2\Rightarrow\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(|a_n|^2+|b_n|^2)\leq\frac1{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\,dx.$$

Определение 15.2.2: Просто тригонометрическим рядом (ТР) называют ряд вида $$\frac{\alpha_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(\alpha_n\cos{nx}+\beta_n\sin{nx}),$$ где для любого $n\in\mathbb{N}$ $\alpha_n,\beta_n,\alpha_0\in\mathbb{P}$ суть произвольные элементы поля $\mathbb{P}$.
Частичная сумма тригонометрического ряда называется тригонометрическим многочленом $$T_n(x):=\frac{\alpha_0}{2}+\sum_{k=1}^n(\alpha_k\cos{kx}+\beta_k\sin{kx}).$$ Таким образом, очевидно, что всякий ТРФ является ТР, но не всякий ТР является ТРФ даже если он сходится.

Пример 15.2.1: Пусть для любого $n\in\mathbb{N}_0$ $\alpha_n:=0$ и для любого $n\in\mathbb{N}$ $\beta_n:=\frac1{\sqrt{n}}$, тогда сходящийся ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin{nx}}{\sqrt{n}}$ будет ТР, но не будет ТРФ, так как для его коэффициентов не выполняется неравенство Бесселя так как ряд $\sum_{n=1}^{\infty}|\beta_n|^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n}$ расходится.

Определение коэффициентов $a_n$, $b_n$ позволяет рассматривать ряд вида (1) в том числе и для функций из $\mathcal{R}_1[-\pi,\pi]$ (абсолютно интегрируемых), но такие ряды уже не будут рядами Фурье и для них нельзя применять в полной мере теорию изложенную в разделе 15.1.
Задача исследования сходимости ТРФ включает в себя следующее.
Пусть дана функция $f(x)\in\mathcal{R}_2[-\pi,\pi]$ и ряд $\displaystyle{S}(x):=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})$, где $\displaystyle{a}_n:=\frac1{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos{nx}\,dx$, $\displaystyle{b}_n:=\frac1{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin{nx}\,dx$.

1. Исследуется поточечная сходимость ряда, при этом в силу $2\pi$-периодичности тригонометрических функций достаточно ограничится промежутком $[a_0,a_0+2\pi]$. Обычно принимают $a_0:=-\pi$, тогда $x\in[-\pi,\pi]$. Далее необходимо выяснить для каких точек сходимости выполняется равенство $S(x_0)=f(x_0)$.
2. Исследуется равномерная сходимость ряда.
3. Исследуется сходимость в среднеквадратичном или норме $H:=\mathcal{R}_2[-\pi,\pi]$.

Теорема 15.2.1: О полноте тригонометрической системы.
Тригонометрическая система функций $S:=\{\cos{nx},\sin{kx}\mid{n}\in\mathbb{N}_0,k\in\mathbb{N}\}$ полна в евклидовом пространстве $H:=\mathcal{R}_2[-\pi,\pi]$.
То есть существуют последовательности $\{\alpha_n\}$, $\{\beta_n\}$ из $\mathbb{P}$ такие, что $$\forall{f}(x)\in{H}\,\forall\varepsilon>0\,\exists {T}_{\varepsilon}(x):=\frac{\alpha_0}{2}+\sum_{k=1}^{n(\varepsilon)}(\alpha_k\cos{kx}+\beta_k\sin{kx})\in\mathcal{Lin}\{S\}\colon \|f-T_{\varepsilon}\|=\left|\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)-T_{\varepsilon}(x)|^2\,dx\right|^{1/2}<\varepsilon.$$

Доказательство: Кудрявцев т. 2, стр. 352.

Следствие 15.2.1: Теорема Ляпунова.
Тригонометрическая система функций является базисом $H:=\mathcal{R}_2[-\pi,\pi]$ и для любой функции $f(x)\in\mathcal{R}_2[-\pi,\pi]$ $$S_n(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^n(a_k\cos{kx}+b_k\sin{kx})\to{f}(x),n\to\infty$$ в метрике $H$, или $$\lim_{n\to\infty}\|f-S_n\|=\lim_{n\to\infty}\left(\int_{-\pi}^{\pi}(f(x)-S_n(x))^2\,dx\right)^{1/2}=0,$$ или $$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx}),$$ где $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ - коэффициенты Фурье для функции $f(x)$, а сходимость понимается в метрике $H$, то есть в среднем квадратичном.

Доказательство:Кудрявцев т.2, стр. 354.

Следствие 15.2.2: Тригонометрическая система функций является замкнутой в $\mathcal{R}_2[-\pi,\pi]$. То есть для любой функции $f(x)\in\mathcal{R}_2[-\pi,\pi]$ выполняется равенство Парсеваля $\displaystyle\|f\|^2=\frac1{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f^2(x)\,dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2)$.

Доказательство: Кудрявцев т. 2, стр. 354.

Следствие 15.2.3: Если $f(x)\in\mathcal{R}_2[-\pi,\pi]$ и для любого $n\in\mathbb{N}_0$ $f\perp\cos{nx}$, $f\perp\sin{nx}$ (или что тоже самое $\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos{nx}\,dx=0$, $\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin{nx}\,dx=0$), тогда $\|f\|=0$ (или что тоже самое $\int_{-\pi}^{\pi}f^2(x)\,dx=0$, то есть $f(x)=0$ почти для всех $x\in[-\pi,\pi]$).

Доказательство: Кудрявцев т. 2, стр. 354.

Используя комплексное представление тригонометрических функций $\displaystyle\cos{z}=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$, $\displaystyle\sin{z}=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ получим комплексную форму записи ТРФ функции $f(x)\in\mathcal{R}_2[-\pi,\pi]$. $$\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}+b_n\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_n-ib_n}{2}e^{inx}\right)+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-inx}\right).$$ Для любого $n\in\mathbb{N}$ положим $$c_n:=\frac{a_n-ib_n}{2}=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)(\cos{nx}-i\sin{nx})\,dx=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}\,dx,$$ $$c_{-n}:=\frac{a_n+ib_n}{2}=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)(\cos{nx}+i\sin{nx})\,dx=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{inx}\,dx.$$ Положим $\displaystyle{c}_0:=\frac{a_0}{2}=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{i0x}\,dx$, тогда для любого $n\in\mathbb{Z}$ $\displaystyle{c}_n=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}\,dx$, следовательно ТРФ можно записать в виде $$\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})=c_0+\sum_{n=1}^{\infty}(e^{inx}c_n)+\sum_{n=-1}^{-\infty}(e^{inx}c_n)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}(e^{inx}c_n)= \frac1{2\pi}\sum_{n\in\mathbb{Z}}\left(e^{inx}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}\,dx\right)$$

15.2.2 Принцип локализации.

Лемма 15.2.1: Лемма Римана.
Пусть $\omega_1,\omega_2\in\overline{\mathbb{R}}$ такие, что $\omega_1<\omega_2$, $f(x)\in\mathcal{R}_1(\omega_1,\omega_2)$, тогда существует предел $\displaystyle\lim_{|\lambda|\to\infty}\int_{\omega_1}^{\omega_2}f(x)e^{i\lambda{x}}\,dx=0$.

Доказательство: В ходе доказательства будем использовать следующий факт $$\forall[a,b]\subset\mathbb{R}\,\forall{f}(x)\in\mathcal{R}_1[a,b]\,\forall\varepsilon>0\,\exists{g}_{\varepsilon}(x)\in{C}[a,b]\colon \|f-g_{\varepsilon}\|:=\int_a^b|f(x)-g_{\varepsilon}(x)|\,dx<\varepsilon.$$ Фиксируем $\varepsilon>0$. $$f(x)\in\mathcal{R}_1(\omega_1,\omega_2)\Rightarrow\exists\int_{\omega_1}^{\omega_2}|f(x)|\,dx\Rightarrow \exists{a},b\in\mathbb{R}\colon \left(\omega_1<{a}<{b}<\omega_2\wedge\int_{\omega_1}^a|f(x)|\,dx<\frac{\varepsilon}{4}\wedge\int_b^{\omega_2}|f(x)|\,dx<\frac{\varepsilon}{4}\right).$$ Так как $$\forall\alpha\in\mathbb{R}(|e^{i\alpha}|=|\cos{\alpha}+i\sin{\alpha}|=1)\Rightarrow \forall\lambda\in\mathbb{R}\,\forall{x}\in(\omega_1,\omega_2)(|f(x)e^{i\lambda{x}}|\leq|f(x)|),$$ то по мажорантному признаку Вейерштрасса интеграл $\displaystyle\int_{\omega_1}^{\omega_2}f(x)e^{i\lambda{x}}\,dx$ сходится абсолютно и $$\left|\int_{\omega_1}^{\omega_2}f(x)e^{i\lambda{x}}\,dx\right|= \left|\int_{\omega_1}^af(x)e^{i\lambda{x}}\,dx+\int_a^bf(x)e^{i\lambda{x}}\,dx+\int_b^{\omega_2}f(x)e^{i\lambda{x}}\,dx\right|\leq \int_{\omega_1}^a|f(x)e^{i\lambda{x}}|\,dx+\left|\int_a^bf(x)e^{i\lambda{x}}\,dx\right|+\int_b^{\omega_2}|f(x)e^{i\lambda{x}}|\,dx< \frac{\varepsilon}{2}+\left|\int_a^bf(x)e^{i\lambda{x}}\,dx\right|\quad(5)$$ Существует $g_{\varepsilon}(x)\in{C}[a,b]$ такая, что $\int_a^b|f(x)-g_{\varepsilon}|\,dx<\frac{\varepsilon}{8}$. Применим к функции $g_{\varepsilon}(x)$ теорему Вейерштрасса - Стоуна для функции $g_{\varepsilon}(x)$. Тогда существует многочлен $f_{\varepsilon}(x)\in{C}^{\infty}[a,b]$ такой, что для любого $x\in[a,b]$ $|g_{\varepsilon}(x)-f_{\varepsilon}(x)|<\frac{\varepsilon}{8(b-a)}$, следовательно, $$\int_a^b|f(x)-f_{\varepsilon}(x)|\,dx\leq\int_a^b|f(x)-g_{\varepsilon}(x)|\,dx+\int_a^b|g_{\varepsilon}(x)-f_{\varepsilon}(x)|\,dx< \frac{\varepsilon}{8}+\frac{\varepsilon}{8(b-a)}(b-a)=\varepsilon.$$ Тогда для любого $\lambda\in\mathbb{R}$ $$\left|\int_a^bf(x)e^{i\lambda{x}}\,dx\right|= \left|\int_a^b(f(x)-f_{\varepsilon}(x))e^{i\lambda{x}}\,dx+\int_a^bf_{\varepsilon}(x)e^{i\lambda{x}}\,dx\right|\leq \int_a^b|f(x)-f_{\varepsilon(x)}|\,dx+\left|\int_a^bf_{\varepsilon}(x)e^{i\lambda{x}}\,dx\right|< \frac{\varepsilon}{4}+\left|\int_a^bf_{\varepsilon}(x)e^{i\lambda{x}}\,dx\right|\quad(7)$$ Применим к интегралу в последнем выражении правило интегрирования по частям $$\left|\int_a^bf_{\varepsilon}(x)e^{i\lambda{x}}\,dx\right|=\left|\left.\left(\frac1{i\lambda}e^{i\lambda{x}}f_{\varepsilon}(x)\right)\right|_a^b +\frac1{i\lambda}\int_a^bf'(x)e^{i\lambda{x}}\,dx\right|\leq \frac1{|\lambda|}\left(|f_{\varepsilon}(a)|+|f_{\varepsilon}(b)|+\int_a^bf'_{\varepsilon}(x)\,dx\right)\to0,|\lambda|\to\infty\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\exists\lambda_0>0\colon\forall\lambda\in\mathbb{R}\left(|\lambda|<\lambda_0\Rightarrow \left|\int_a^bf_{\varepsilon}(x)e^{i\lambda{x}}\,dx\right|<\frac{\varepsilon}{4}\right).$$ Подставляя полученную оценку в (7) и получающееся выражение в оценку (5) получим $$\forall\lambda\in\mathbb{R}\left(|\lambda|>\lambda_0\Rightarrow\left|\int_{\omega_1}^{\omega_2}f_{\varepsilon}(x)e^{i\lambda{x}}\,dx\right|< \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{4}+\frac{\varepsilon}{4}=\varepsilon\right).$$

Следствие 15.2.4: Пусть $\omega_1,\omega_2\in\overline{\mathbb{R}}$ такие, что $\omega_1<\omega_2$, $f(x)\in\mathcal{R}_1(\omega_1,\omega_2)$, тогда существуют пределы $\displaystyle\lim_{\lambda\to\infty}\int_{\omega_1}^{\omega_2}f(x)\cos{\lambda{x}}\,dx= \lim_{\lambda\to\infty}\int_{\omega_1}^{\omega_2}f(x)\sin{\lambda{x}}\,dx=0$.

Доказательство: Следует из леммы Римана и равенства $e^{i\alpha}=\cos{\alpha}+i\sin{\alpha}$.

Следствие 15.2.5: Пусть $a,b\in\mathbb{R}$ такие, что $a<{b}$, $f(x)\in\mathcal{R}_2[a,b]$, тогда существует предел $\displaystyle\lim_{|\lambda|\to\infty}\int_a^bf(x)e^{i\lambda{x}}\,dx=0$.

Доказательство: Следует из леммы Римана, так как $\mathcal{R}_2[a,b]\subset\mathcal{R}_1[a,b]$.

Определение 15.2.3: Пусть $n\in\mathbb{N}$, тогда функция $D_n(u)\colon\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ такая, что для любого $u\in\mathbb{R}$ $D_n(u):=\sum_{k=-n}^ne^{iku}$ называется ядром Дирихле порядка $n$ или $n$-тым ядром Дирихле.

Утверждение 15.2.1: Свойства ядер Дирихле.
Для любого $n\in\mathbb{N}$

1. $D_n(u)\in{C}(\mathbb{R})$,
2. функция $D_n(u)$ $2\pi$-периодична,
3. если $u\notin2\pi\mathbb{Z}:=\{2\pi{s}\mid{s}\in\mathbb{Z}\}$, то $\displaystyle{D}_n(u)=\frac{\sin\left(u+\frac12\right)}{\sin{\frac{u}{2}}}$,
   для любого $s\in\mathbb{Z}$ $D_n(2\pi{s})=2n+1$,
4. функция $D_n(u)$ четная, то есть для любого $u\in\mathbb{R}$ $D_n(u)=D_n(-u)$,
5. $\displaystyle\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}D_n(u)\,du=1$,
6. $\displaystyle\forall\delta\in(0,\pi)\left(\exists\lim_{n\to\infty}\int_{\delta}^{\pi}D_n(u)\,du=0\right)$.

Доказательство:

1. Функция $D_n(u)$ непрерывна, как сумма непрерывных.
2. Функция $D_n(u)$ $2\pi$-периодична, как сумма $2\pi$-периодичных.
3. В примере 7.1.1 было показано, что для любого $q\neq1$ $\displaystyle\sum_{k=0}^nq^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$, тогда, так как при $u\notin2\pi\mathbb{Z}$ $e^{iu}\neq1$, то $$D_n(u)=\sum_{k=-n}^ne^{iku}=\frac{1-e^{iu(n+1)}}{1-e^{iu}}+\frac{1-e^{-eu(n+1)}}{1-e^{-iu}}-1= \frac{e^{iu(n+1)}-1}{e^{iu}-1}+\frac{e^{iu}(1-e^{-iu(n+1)})}{e^{iu}-1}-\frac{e^{iu}-1}{e^{iu}-1}=\frac{e^{iu(n+1)}-e^{-iu(n+1)}}{e^{iu}-1}=$$ $$=\frac{e^{iu(n+1/2)}-e^{-iu(n+1/2)}}{e^{iu/2}-e^{-iu/2}}=\frac{\sin\left(\left(n+\frac12\right)u\right)}{\sin{\frac{u}{2}}}.$$ $$\forall{s}\in\mathbb{Z}\left(D_n(2\pi{s})=\sum_{k=-n}^n1=2n+1\right).$$
4. При $u\notin2\pi\mathbb{Z}$ $$D_n(-u)=\frac{\sin\left(\left(n+\frac12\right)(-u)\right)}{\sin\left(-\frac{u}{2}\right)}= \frac{-\sin\left(\left(n+\frac12\right)u\right)}{-\sin{\frac{u}{2}}}=\frac{\sin\left(\left(n+\frac12\right)u\right)}{\sin{\frac{u}{2}}}=D_n(u).$$ Если $u\in2\pi\mathbb{Z}$, то $-u\in2\pi\mathbb{Z}$, следовательно, $D_n(u)=D_n(-u)=2n+1$.
5. $$\forall{k}\neq0\left(\int_{-\pi}^{\pi}e^{iku}\,du=0\right)\Rightarrow\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}D_n(u)\,du= \frac1{2\pi}\left(\sum_{k=-n}^n\int_{-\pi}^{\pi}e^{iku}\,du\right)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{i0u}\,du=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}du=1.$$
6. Фиксируем $\delta\in(0,\pi)$ $$\int_{\delta}^{\pi}D_n(u)\,du=\int_{\delta}^{\pi}\frac1{\sin{\frac{u}{2}}}\sin\left(\left(n+\frac12\right)u\right)\,du.$$ Так как $\left|i\left(n+\frac12\right)\right|\to\infty$, при $n\to\infty$, то утверждение следует из леммы Римана и равенства $\displaystyle\sin{x}=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}.$

Используя понятие ядер Дирихле можно записать частичную сумму ТРФ функции $f(x)\in\mathcal{R}_2[-\pi,\pi]$ в интегральном виде $$S_n(x)=\sum_{k=-n}^n(c_ke^{ikx})=\sum_{k=-n}^n\left(e^{ikx}\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{-ikt}\,dt\right)= \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sum_{k=-n}^ne^{ik(x-t)}\,dt=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)D_n(x-t)\,dt.$$

Утверждение 15.2.2: Принцип локализации.
Пусть функции $f(t),g(t)\colon[-\pi,\pi]\to\mathbb{R}$, $x\in(-\pi,\pi)$ такие, что

1. $\exists{U}(x)\subset(-\pi,\pi)\colon\forall{t}\in{U}(x)(f(t)=g(t))$,
2. $f(t),g(t)\in\mathcal{R}_1[-\pi,\pi]$,

Доказательство: Продолжим функции $f(t)$, $g(t)$ на $\mathbb{R}$ с периодом $2\pi$, тогда $$S_n(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)D_n(x-t)\,dt=-\frac1{2\pi}\int_{x+\pi}^{x-\pi}f(x-s)D_n(s)\,ds=\frac1{2\pi}\int_{x-\pi}^{x+\pi}f(x-t)D_n(t)\,dt= \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x-t)D_n(t)\,dt,$$ где последнее равенство в силу $2\pi$-периодичности функций $f(x)$, $D_n(u)$.
Зафиксируем $\delta>0$ такое, что $(x-\delta,x+\delta)\subset{U}(x)\subset(-\pi,\pi)$, тогда $$S_n(x)=\frac1{2\pi}\left(\int_{-\pi}^{-\delta}f(x-t)D_n(t)\,dt+\int_{-\delta}^{\delta}f(x-t)D_n(t)\,dt+\int_{\delta}^{\pi}f(x-t)D_n(t)\,dt\right).$$ Делая в первом слагаемом замену $t:=-t$ и учитывая четность функции $D_n(u)$ получим $$S_n(x)=\frac1{2\pi}\left(\int_{\delta}^{\pi}f(x+t)D_n(t)\,dt+\int_{\delta}^{\pi}f(x-t)D_n(t)\,dt+\int_{-\delta}^{\delta}f(x-t)D_n(t)\,dt\right)= \frac1{2\pi}\left(\int_{\delta}^{\pi}(f(x+t)+f(x-t))D_n(t)\,dt+\int_{-\delta}^{\delta}f(x-t)D_n(t)\,dt\right).$$ Так как по пункту 3 утверждения 15.2.1 для любого $t\in(\delta,\pi)$ $\displaystyle{D}_n(t)=\frac{\sin\left(\left(n+\frac12\right)t\right)}{\sin{\frac{t}{2}}}$, то первое слагаемое равно $\displaystyle\int_{\delta}^{\pi}\frac{f(x+t)+f(x-t)}{\sin{\frac{t}{2}}}\sin\left(\left(n+\frac12\right)t\right)\,dt.$ Так как $f(x)\in\mathcal{R}_1[-\pi,\pi]$ и $f(x)$ $2\pi$-периодична и функция $\frac1{\sin{\frac{t}{2}}}$ непрерывна на $[\delta,\pi]$, следовательно, функция $\displaystyle\frac{f(x+t)-f(x-t)}{\sin{\frac{t}{2}}}$ абсолютно интегрируема на $[\delta,\pi]$ и $2\pi$-периодична. Тогда, так как $\displaystyle\sin{x}=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ и $\left|i\left(n+\frac12\right)\right|\to\infty$ при $n\to\infty$, то по лемме Римана $\displaystyle\int_{\delta}^{\pi}\frac{f(x+t)-f(x-t)}{\sin{\frac{t}{2}}}\sin\left(\left(n+\frac12\right)t\right)\,dt\to0$, при $n\to\infty$. Следовательно, $\displaystyle{S}_n(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\delta}^{\delta}f(x-t)D_n(t)\,dt+o(1)$ при $n\to\infty$.
Аналогично доказывается, что для любого $n\in\mathbb{N}$ $n$-тая частичная сумма $S'_n(x)$ ТРФ функции $g(t)$ равна $\displaystyle{S}'_n(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\delta}^{\delta}g(x-t)D_n(t)\,dt+o(1)$ при $n\to\infty$.
Так как в силу выбора $\delta$ для любого $t\in(-\delta,\delta)$ $x-t\in{U}(x)$ и для любого $u\in{U}(x)$ $f(u)=g(u)$, то существует предел $\lim_{n\to\infty}(S_n(x)-S'_n(x))=0$ откуда непосредственно следует доказываемое утверждение.

Утверждение так же верно и для $x=\pm\pi$ в этом случае нужно рассматривать функции $f(t)$, $g(t)$ на промежутках $[-\pi,\pi+\delta)$, $(-\pi-\delta,\pi]$.

previous contents next