Произвольный многочлен степени $n\in\mathbb{N}$ $P_n(x)=a_0+a_1x+\dots+a_nx$
может быть представлен в виде:
$$P_n(x)=P_n(0)+P'_n(0)x+\frac{P''_n(0)}{2!}x^2+\dots+\frac{P^{(n)}_n}{n!}x^n=\sum_{k=0}^n\left(\frac{P^{(k)}_n}{k!}x^k\right)$$
Вместо нуля можно взять любое $x_0\in\mathbb{R}$ произведя замену $t=x-x_0$.
$$\hat{P}_n(t):=P_n(t+x_0)=P_n(x)=\sum_{k=0}^n\left(\frac{\hat{P}{}^{(k)}_n(0)}{k!}t^k\right)=\sum_{k=0}^n\left(\frac{P^{(k)}_n(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\right)$$
так как $(t+x_0)'\equiv1$, то для любого $k\in\overline{1,n}$ $\hat{P}{}^{(k)}_n(t+x_0)=P^{(k)}_n(x_0)$ и
$\hat{P}{}^{(k)}_n(0)=P^{(k)}_n(x_0)$.
Рассмотрим произвольную функцию $f(x):E\to\mathbb{R}$ и точку $x_0\in{E}\cap\mathring{E}$. Для любого многочлена $P_n(x_0,x):=c_0+c_1(x-x_0)+\dots+c_n(x-x_0)^n$
существует функция $w_n(x_0,x)$ такая, что для любого $x\in{E}$ $w_n(x_0,x):=f(x)-P_n(x_0,x)$ поэтому формула $f(x)=P_n(x_0,x)+w_n(x_0,x)$ тривиальна.
Наполним эту формулу содержанием, наложив некоторые ограничения на функцию $w_n(x_0,x)$.
Определение 6.5.1: Если функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ имеет в точке $x_0\in{E}\cap\mathring{E}$ производные всех порядков
до $n\in\mathbb{N}$ включительно, тогда многочлен $$T_n(x_0,x)=\sum_{k=0}^n\left(\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\right)$$ называется многочленом
Тэйлора степени $n$ для функции $f(x)$ с центром в точке $x_0$.
Равенство $f(x)=T_n(x_0,x)+r_n(x_0,x)$ называется формулой Тэйлора степени $n$ для функции $f(x)$ с центром в точке $x_0$.
Функция $r_n(x_0,x):=f(x)-T_n(x_0,x)$ называется остаточным членом формулы Тэйлора степени $n$ для функции $f(x)$ с центром в точке $x_0$.
Теорема 6.5.1: Остаточный член в форме Шлемельха-Роша.
Пусть $x_0,x\in{E}$, $[x_0,x]\subset{E}$, $n\in\mathbb{N}$ и функция $f(t):E\to\mathbb{R}$ такая, что
Доказательство: Рассмотрим функцию
$$F(t):=f(x)-T_n(t,x)=f(x)-\left(f(t)+\frac{f'(t)}{1!}(x-t)+\frac{f''(t)}{2!}(x-t)^2+\dots+\frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x-t)^n\right)$$
Функция $F(t)$ непрерывна на отрезке $[x_0,x]$ как сумма и композиция непрерывных,
и дифференцируема на интервале $(x_0,x)$ как сумма
и композиция дифференцируемых.
$$\forall{t}\in(x_0,x)\left(F'(t)=-f'(t)+\frac{f'(t)}{1!}-\frac{f''(t)}{1!}(x-t)+2\frac{f''(t)}{2!}(x-t)-\frac{f'''(t)}{2!}(x-t)^2+\dots
+n\frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x-t)^{n-1}-\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n=-\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n\right)$$
В последнем равенстве все слагаемые, кроме последнего сокращаются, так как
$$\left(\frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k\right)'=-\frac{f^{(k)}(t)}{(k-1)!}(x-t)^{k-1}+\frac{f^{(k+1)}(t)}{((k+1)-1)!}(x-t)^{(k+1)-1}$$
Для пары функций $F(t)$ и $\varphi(t)$ применим на отрезке $[x_0,x]$ теорему Коши,
тогда, так как $F(x)=f(x)-T_n(x,x)=f(x)-f(x)=0$, то
$$\exists\xi\in(x_0,x):\frac{F(x)-F(x_0)}{\varphi(x)-\varphi(x_0)}=\frac{-F(x_0)}{\varphi(x)-\varphi(x_0)}=\frac{F'(\xi)}{\varphi'(\xi)}=
-\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{\varphi'(\xi)n!}(x-\xi)^n\Rightarrow{r}_n(x_0,x)=f(x)-T_n(x_0,x)=F(x_0)=
\frac{f^{(n+1)}(\xi)(x-\xi)^n}{\varphi'(\xi)n!}(\varphi(x)-\varphi(x_0))$$
Сила доказанной теоремы состоит в общности. В качестве функции $\varphi(x)$ можно взять любую строго монотонную функцию непрерывную на отрезке $[x_0,x]$
и дифференцируемую на интервале $(x_0,x)$.
Следствие 6.5.1: Остаточный член формулы Тэйлора в форме Коши.
Если $f(x)\in{C}^{(n)}[x_0,x]$ и функция $f^{(n)}(x)$ дифференцируема на интервале $(x_0,x)$, то
остаточный член формулы Тэйлора степени $n$ для функции $f(x)$ с центром в точке $x_0$ может быть представлен в виде
$$r_n(x_0,x)=\frac1{n!}f^{(n+1)}(\xi)(x-\xi)^n(x-x_0)$$
где $\xi\in(x_0, x)$.
Доказательство: В условиях теоремы 6.5.1 положим $\varphi(t):=x-t$, тогда, так как $\varphi'(t)\equiv{-1}\neq0$, то по теореме 6.5.1
$$\exists\xi\in(x_0,x):r_n(x_0,x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)(x-\xi)^n}{\varphi'(\xi)n!}(\varphi(x)-\varphi(x_0))=
-\frac{f^{(n+1)}(\xi)(x-\xi)^n}{n!}(x_0-x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)(x-\xi)^n}{n!}(x-x_0).$$
Следствие 6.5.2: Остаточный член формулы Тэйлора в форме Лагранжа.
Если $f(x)\in{C}^{(n)}[x_0,x]$ и функция $f^{(n)}(x)$ дифференцируема на интервале $(x_0,x)$, то
остаточный член формулы Тэйлора степени $n$ для функции $f(x)$ с центром в точке $x_0$ может быть представлен в виде
$$r_n(x_0,x)=\frac1{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)(x-x_0)^{n+1}$$
где $\xi\in(x_0,x)$.
Доказательство: В условиях теоремы 6.5.1 положим $\varphi(t):=(x-t)^{n+1}$ тогда,
так как для любого $t\in(x_0,x)$ $\varphi'(t)=-(n+1)(x-t)^n\neq0$, то
$$\exists\xi\in(x_0,x):r_n(x_0,x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)(x-\xi)^n}{\varphi'(\xi)n!}(\varphi(x)-\varphi(x_0))=
\frac{f^{(n+1)}(\xi)(x-\xi)^n}{-(n+1)(x-\xi)^nn!}(x_0-x)^{n+1}=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$
Если рассматривается формула Тэйлора с центром в точке $x_0=0$, то остаточный член в форме Лагранжа приобретает вид $\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}$. Такую форму записи принято называть остаточным членом формулы Тэйлора в форме Маклорена.
Пример 6.5.1: Реализуем остаточный член формулы Тэйлора
в форме Маклорена для функции $e^t$.
$$\forall{k}\in\mathbb{N}((e^t)^{(k)}|_{t=0}=e^t|_{t=0}=e^0=1)\Rightarrow\exists\xi\in(0,x):e^x=T_n(0,x)+r_n(0,x)=
\sum_{k=0}^n\left(\frac1{k!}x^k\right)+\frac{e^\xi}{(n+1)!}x^{n+1}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{x^n}{n!}+\frac{e^\xi}{(n+1)!}x^{n+1}$$
При этом
$$\xi\in(0,x)\Rightarrow|\xi|<|x|\Rightarrow|r_n(0,x)|<\frac{e^{|x|}}{(n+1)!}|x|^{n+1}=o(|x|^n),\:x\to0$$
Пример 6.5.2: Реализуем остаточный член формулы Тэйлора
в форме Маклорена для функции $\sin{x}$.
$$\forall{k}\in\mathbb{N}_0((\sin{t})^{(4k)}=\sin{t}\wedge(\sin{t})^{(4k+1)}=\cos{t}\wedge(\sin{t})^{(4k+2)}=-\sin{t}\wedge
(\sin{t})^{(4k+3)}=-\cos{t})\Rightarrow\forall{k}\in\mathbb{N}_0((\sin{t})^{(2k)}=(-1)^k\sin{t}\wedge(\sin{t})^{(2k+1)}=(-1)^k\cos{t})\Rightarrow$$
$$\Rightarrow\forall{k}\in\mathbb{N}_0((\sin{t})^{(2k)}|_{t=0}=(-1)^k\sin0=0\wedge(\sin{t})^{(2k+1)}|_{t=0}=(-1)^k\cos0=(-1)^k)\Rightarrow$$
$$\Rightarrow\exists\xi\in(0,x):\sin{x}=T_{2n+1}(0,x)+r_{2n+1}(0,x)=\sum_{k=0}^n\left(\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}\right)+
\frac{(-1)^{n+1}\sin\xi}{(2n+2)!}x^{2n+2}$$
При этом
$$|r_{2n+1}(0,x)|\leq\frac{|x|^{2n+2}}{(2n+2)!}=o(|x|^{2n+1}),\:x\to0$$
Пример 6.5.3: Реализуем остаточный член формулы Тэйлора в форме Маклорена для функции $\cos{x}$.
$$\forall{k}\in\mathbb{N}((\cos{t})^{(2k)}=(-1)^k\cos{t}\wedge(\cos{t})^{(2k-1)}=(-1)^k\sin{t})\Rightarrow
\forall{k}\in\mathbb{N}((\cos{t})^{(2k)}|_{t=0}=(-1)^k\cos0=(-1)^k\wedge(\cos{t})^{(2k-1)}|_{t=0}=(-1)^k\sin0=0)\Rightarrow$$
$$\Rightarrow\exists\xi\in(0,x):\cos{x}=T_{2n}(0,x)+r_{2n}(0,x)=\sum_{k=0}^n\left(\frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}\right)+
\frac{(-1)^{n+1}\sin\xi}{(2n+1)!}x^{2n+1}$$
При этом
$$|r_{2n}(0,x)|\leq\frac{|x|^{2n+1}}{(2n+1)!}=o(|x|^{2n}),\:x\to0$$
Пример 6.5.4: Реализуем остаточный член формулы Тэйлора
с центром в точке 0 в форме Коши для функции $f(t)=\ln(1+t)$.
Так как $f^{(0)}(0)=f(0)=\ln1=0$ и
$$\forall{k}\in\mathbb{N}\left(f^{(k)}(t)=\frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{(1+t)^k}\right)\Rightarrow\forall{k}\in\mathbb{N}(f^{(k)}(0)=(-1)^{k-1}(k-1)!)$$
то
$$T_n(0,x)=\sum_{k=1}^n\left(\frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{k!}x^k\right)=\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1}}{k}x^k=
x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\dots+\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}$$
По следствию 6.5.1
$$\exists\xi\in(0,x):r_n(0,x)=\frac1{n!}\frac{(-1)^nn!}{(1+\xi)^{n+1}}(x-\xi)^nx=\frac{(-1)^n}{1+\xi}\left(\frac{x-\xi}{1+\xi}\right)^nx$$
$\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}$
Так как рассматривается разложение функции $\ln(1+t)$ в окрестности точки 0, то будем считать, что $|\xi|<|x|<1$ и $\sgn{x}=\sgn\xi$
(так как $\xi$ лежит между 0 и $x$), тогда
$$\frac1{|1+\xi|}\leq\frac1{1-|\xi|}\leq\frac1{1-|x|}\quad(*)$$
$$(\sgn{x}=\sgn\xi\wedge|\xi|<|x|)\Rightarrow|x-\xi|=|x|-|\xi|\Rightarrow\left|\frac{x-\xi}{1+\xi}\right|=\frac{|x|-|\xi|}{|1+\xi|}\leq^{(*)}
\frac{|x|-|\xi|}{1-|\xi|}=\frac{|x|-|\xi|+1-1}{1-|\xi|}=1-\frac{1-|x|}{1-|\xi|}<1-\frac{1-|x|}{1}=|x|\Rightarrow$$
$$\Rightarrow|r_n(0,x)|=\left|\frac{(-1)^n}{1+\xi}\left(\frac{x-\xi}{1+\xi}\right)^nx\right|<\left|\frac1{1+\xi}\right||x^n||x|\leq^{(*)}
\frac{|x|^{n+1}}{1-|x|}=o(|x|^n),\:x\to0$$
Пример 5.5.5: Реализуем остаточный член формулы Тэйлора с центром в точке 0 в форме Коши для функции $f(t)=(1+t)^\alpha$.
Так как $f^{(0)}(0)=f(0)=1$ и
$$\forall{k}\in\mathbb{N}(f^{(k)}(t)=\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-k+1)(1+t)^{\alpha-k})\Rightarrow
\forall{k}\in\mathbb{N}(f^{(k)}(0)=\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-k+1))$$
то
$$T_n(0,x)=\sum_{k=0}^n\left(\frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-k+1)}{k!}x^k\right)$$
По следствию 6.5.1
$$\exists\xi\in(0,x):r_n(0,x)=\frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n)(1+\xi)^{\alpha-n-1}}{n!}(x-\xi)^nx$$
Так как рассматривается разложение функции $(1+t)^\alpha$ в окрестности точки 0, будем считать, что $|\xi|<|x|<1$ и $\sgn{x}=\sgn\xi$
(так как $\xi$ лежит между 0 и $x$), тогда
$$|r_n(0,x)|=\left|\frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-k+1)(1+\xi)^{\alpha-n-1}}{n!}(x-\xi)^nx\right|\leq
|\alpha|\frac{|\alpha-1|}{1}\frac{|\alpha-1|}{2}\dots\frac{|\alpha-k+1|}{n}\left|\frac{x-\xi}{1+\xi}\right|^n|1+\xi|^{\alpha-1}|x|$$
В предыдущем примере было показано, что при сделанных предпосылках $\displaystyle\left|\frac{x-\xi}{1+\xi}\right|<|x|$, следовательно, при $|x|<1$
$$|r_n(0,x)|<|\alpha|\frac{|\alpha-1|}{1}\frac{|\alpha-2|}{2}\dots\frac{|\alpha-n|}{n}|1+\xi|^\alpha|x|^{n+1}=o(1),\:n\to\infty$$
Если $\alpha=m\in\mathbb{N}$, то для любого $n>m$ $f^{(n)}(t)\equiv0$, следовательно, $r_n(0,x)=0$, то есть
$$f(x)=(1+x)^m=T_n(0,x)=\sum_{k=0}^m\left(\frac{m(m-1)\dots(m-k+1)}{k!}x^k\right).$$
Так как полученное выражение верно для любых $x\in(-1,1)$, то его можно применять для суммы любых двух чисел $p,q\in\mathbb{R}$, таких что $|p|<|q|$,
положив $x:=\frac{p}{q}$, тогда $(p+q)^m=q^m(1+\frac{p}{q})^m$. То есть
$$(p+q)^m=q^m\sum_{k=0}^n\left(\frac{m(m-1)\dots(m-k+1)}{k!}\left(\frac{p}{q}\right)^k\right)=
\sum_{k=0}^m\left(\frac{m(m-1)\dots(m-k+1)}{k!}p^kq^{m-k}\right)=\sum_{k=0}^m\left(C_m^kp^kq^{m-k}\right)$$
Где $C_m^k$ - биномиальные коэффициенты.
Полученное таким образом равенство называется Биномом Ньютона.
Утверждение 6.5.1: Если для функции $f(x):E\to\mathbb{R}$ и точки $x_0\in{E}\cap\mathring{E}$ существует многочлен $P_n(x_0,x)$ такой, что $f(x)-P_n(x_0,x)=o(x-x_0)^n,\:E\ni{x}\to{x}_0$, то он единственный.
Доказательство: Пусть многочлен $P_n(x_0,x):=c_0+c_1(x-x_0)+\dots+c_n(x-x_0)^n$ такой, что
$$f(x)=c_0+c_1(x-x_0)+\dots+c_n(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n),\:E\ni{x}\to{x}_0\quad(3)$$
Все слагаемые в правой части равенства (3) имеют предел при $x\to{x}_0$, следовательно, существует предел функции $f(x)$ при $x\to{x}_0$.
Переходя к пределу в равенстве (3) получим $\displaystyle\lim_{x\to{x}_0}f(x)=c_0$. В силу
единственности предела значение коэффициента $c_0$ определено однозначно. Перепишем
равенство (3) в виде
$$\frac{f(x)-c_0}{x-x_0}=c_1+\sum_{k=2}^n(c_k(x-x_0)^k)+o((x-x_0)^n),\:E\ni{x}\to{x}_0$$
Переходя к пределу получим $\displaystyle\lim_{x\to{x}_0}\frac{f(x)-c_0}{x-x_0}=c_1$. В силу единственности предела значение коэффициента $c_1$
определено однозначно.
Таким образом, методом индукции проверяется, что
$$\forall{k}\in\overline{1,n}\left(\exists\lim_{E\ni{x}\to{x}_0}\frac{f(x)-\sum_{i=0}^{k-1}(c_i(x-x_0)^i)}{(x-x_0)^k}=
\lim_{E\ni{x}\to{x}_0}\left(c_k+\sum_{i=k+1}^n(c_i(x-x_0)^{i-k})+o((x-x_0)^n\right)=c_k\right)$$
Таким образом, если найдется многочлен удовлетворяющий равенству (3) то все его коэффициенты определены однозначно с силу единственности
предела функции.
Теорема 6.5.2: Локальная формула Тэйлора.
Если функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ и точка $x_0\in{E}$ такие, что
Доказательство: Индукцией по $n$ проверяется, что для любого $k\in\overline{0,n}$ существует производная многочлена Тэйлора $T_n(x_0,x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$ в точке $x_0$ порядка $k$ равная $T_n^{(k)}(x_0,x)|_{x=x_0}=f^{(k)}(x_0)$. Тогда функция $\varphi(x):=f(x)-T_n(x_0,x):U(x_0)\to\mathbb{R}$ удовлетворяет условиям:
Запись формулы Тэйлора степени $n$ для функции $f(x)$ с центром в точке $x_0$ в виде
$$f(x)=T_n(x_0,x)+o((x-x_0)^n),\quad{x}\to{x}_0$$
называют формулой Тэйлора с остаточным членом в форме Пеано.
Пример 6.5.6: В примере 6.5.4 было показано, что многочлен Тэйлора степени $n$
для функции $\ln(1+x)$ с центром в точке 0 имеет вид $\displaystyle{x}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\dots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n$, следовательно,
$\displaystyle\ln(1+x)=\sum_{k=0}^n\left(\frac{(-1)^{k-1}}{k}x^k\right)+o(x^n)$ при $x\to0$.
Вывод: Было дано определение многочлена Тэйлора и формулы Тэйлора $f(x)=T_n(x_0,x)+r_n(x_0,x)$. После этого было получено несколько вариантов записи функции $r_n(x_0,x)$ остаточного члена формулы Тэйлора. Наиболее характерные: