previous contents next

1 курс. 2 семестр.

6.6 Исследование функций методом дифференциального исчисления. Построение графиков функций.

6.6.1 Условия монотонности функции и существования внутреннего локального экстремума.
$\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}$

Утверждение 6.6.1: Пусть $a,b\in\overline{\mathbb{R}}$ такие, что $a<b$ и функция $f(x):(a,b)\to\mathbb{R}$ дифференцируема на интервале $(a,b)$, тогда

  1. если производная $f'(x)$ положительна на $(a,b)$, то функция $f(x)$ возрастает, и если функция $f(x)$ возрастает, то производная $f'(x)$ неотрицательна;
  2. если производная $f'(x)$ неотрицательна на $(a,b)$, то функция $f(x)$ не убывает;
  3. если производная $f'(x)$ отрицательна на $(a,b)$, то функция $f(x)$ убывает, и если функция $f(x)$ убывает, то производная $f'(x)$ неположительна;
  4. если производная $f'(x)$ неположительна на $(a,b)$, то функция $f(x)$ не возрастает.

Доказательство: Пусть $x_1,x_2\in(a,b)$ такие, что $x_1<x_2$, тогда функция $f(x)$ удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на отрезке $[x_1,x_2]$. Следовательно, существует $\xi\in(x_1,x_2)$ такое, что $f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)$

  1. Так как производная $f'(x)$ положительна на $(a,b)$, то $$\forall{x}\in(a,b)(f'(x)>0)\Rightarrow{f}'(\xi)>0\Rightarrow{f}(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)>0\Rightarrow{f}(x_2)>f(x_1)$$ То есть функция $f(x)$ возрастает на $(a,b)$.
    Пусть теперь известно, что функция $f(x)$ возрастает. Фиксируем $x\in(a,b)$, тогда $$\forall{t}\in(a,b)(\sgn(f(x)-f(t))=\sgn(x-t))\Rightarrow\forall{t}\in(a,b)\left(\frac{f(x)-f(t)}{x-t}>0\right)\Rightarrow {f}'(x)=\lim_{t\to{x}}\frac{f(x)-f(t)}{x-t}\geq0$$
  2. Так как производная не отрицательна на $(a,b)$, то $$\forall{x}\in(a,b)(f'(x)\geq0)\Rightarrow{f}'(\xi)\geq0\Rightarrow{f}(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)\geq0\Rightarrow{f}(x_2)\geq{f}(x_1)$$ То есть функция $f(x)$ не убывает на $(a,b)$.
  3. Так как производная отрицательна на $(a,b)$, то $$\forall{x}\in(a,b)(f'(x)<0)\Rightarrow{f}'(\xi)<0\Rightarrow{f}(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)<0\Rightarrow{f}(x_2)<{f}(x_1)$$ То есть функция $f(x)$ убывает на $(a,b)$.
    Пусть теперь известно, что функция $f(x)$ убывает. Фиксируем $x\in(a,b)$, тогда $$\forall{t}\in(a,b)(\sgn(f(x)-f(t))=-\sgn(x-t))\Rightarrow\forall{x}\in(a,b)\left(\frac{f(x)-f(t)}{x-t}<0\right)\Rightarrow {f}'(x)=\lim_{t\to{x}}\frac{f(x)-f(t)}{x-t}\leq0$$
  4. Так как производная неположительна на $(a,b)$, то $$\forall{x}\in(a,b)(f'(x)\leq0)\Rightarrow{f}'(\xi)\leq0\Rightarrow{f}(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)\leq0\Rightarrow{f}(x_2)\leq{f}(x_1)$$


Пример 6.6.1: Как видно из пункта 1 утверждения, даже если функция возрастает на области определения ее производная может обращаться в нуль. Например, функция $f(x)=x^3$ возрастает на $\mathbb{R}$ так как для любых $a,b\in\mathbb{R}$ таких что $a<b$ $$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab\geq0\Rightarrow{a}^2+b^2>|ab|\Rightarrow{a}^2+b^2+ab>0\Rightarrow\sgn(a^3-b^3)=\sgn((a-b)(a^2+b^2+ab))=\sgn(a-b).$$ Однако, так как $f'(x)=2x^2$, то $f'(0)=0$.

Пример 6.6.2: Рассмотрим функцию $f(x)=x^3-3x+2$ на множестве $\mathbb{R}$.
По теореме 6.2.1 и примеру 6.2.1 $f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)$. Таким образом функция $f(x)$ возрастает на интервалах $(-\infty,-1)$, $(1,+\infty)$ и убывает на интервале $(-1,1)$.

Утверждение 6.6.2: Необходимые условия существования внутреннего локального экстремума.
Если точка $x_0\in{i}nt{E}$ точка локального экстремума функции $f(x):E\to\mathbb{R}$, то функция $f(x)$ либо не имеет производной в точке $x_0$ либо $f'(x_0)=0$.

Доказательство: Это утверждение было доказано ранее, как следствие 6.4.2 из Леммы Ферма.

Пример 6.6.3: Рассмотрим функцию $f(x)=x^2$.
Для любого $x\in\mathbb{R}$ существует производная $f'(x)=2x$, и только при $x=0$ производная обращается в ноль. При этом для любого $x\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$ $f(x)>f(0)=0$, поэтому точка 0 единственная точка локального экстремума функции $f(x)=x^2$.

Пример 6.6.4: Рассмотрим функцию $f(x)=x^3$.
Для любого $x\in\mathbb{R}$ существует производная $f'(x)=3x^2$, и только при $x=0$ производная обращается с ноль. Однако, для любого $x<0$ $f(x)<0$, а для любого $x>0$ $f(x)>0$, следовательно, точка 0 не является точкой локального экстремума функции $f(x)$. То есть функция $f(x)=x^3$ не имеет локальных экстремумов.

Пример 6.6.5: Рассмотрим функцию $f(x)=|x|$.
Для любого $x\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$ существует производная $f'(x)=\sgn{x}\neq0$, а в точке $x=0$ производной не существует. При этом для любого $x\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$ $f(x)>f(0)=0$, поэтому точка 0 единственная точка локального экстремума функции $f(x)=|x|$.

Пример 6.6.6: Рассмотрим функцию $f(x)=\begin{cases}2x, & x<0\\x, & x\geq0\end{cases}$.
Так как для любого $x<0$ $f'(x)=2$, а для любого $x>0$ $f'(x)=1$, то $f'_-(0)=2\neq1=f'_+(0)$, следовательно, производной в точке 0 не существует. Однако, для любого $x<0$ $f(x)<0$, а для любого $x>0$ $f(x)>0$, следовательно, точка 0 не является точкой локального экстремума функции $f(x)$. То есть функция $f(x)$ не имеет локальных экстремумов.

Утверждение 6.6.3: Достаточные условия существования внутреннего локального экстремума в терминах первой производной.
Если функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ и точка $x_0\in{E}$ удовлетворяют условиям

  1. $\exists{U}(x_0)\subset{E}:\forall{x}\in\mathring{U}(x_0)\:\exists{f}'(x)$,

  2. $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$,
тогда
  1. если $$\forall{x}\in{U}^-(x_0)(f'(x)>0)\wedge\forall{x}\in{U}^+(x_0)(f'(x_0)<0)$$ то точка $x_0$ точка строгого внутреннего локального максимума,
  2. если $$\forall{x}\in{U}^-(x_0)(f'(x)<0)\wedge\forall{x}\in{U}^+(x_0)(f'(x)>0)$$ то точка $x_0$ точка строгого внутреннего локального минимума,
  3. если $$\forall{x}\in\mathring{U}(x_0)(f'(x)<0)\vee\forall{x}\in\mathring{U}(x_0)(f'(x)>0)$$ то точка $x_0$ не является точкой локального экстремума.

Доказательство: Так как функция $f(x)$ непрерывна на $U(x_0)$ и дифференцируема на $\mathring{U}(x_0)$, то для любого $x\in{U}^-(x_0)$ можно применить теорему Лагранжа на отрезке $[x,x_0]$, и для любого $x\in{U}^+(x_0)$ можно применить теорему Лагранжа на отрезке $[x_0,x]$.

  1. Фиксируем $x\in{U}^-(x_0)$, тогда по теореме Лагранжа $$\exists\xi\in(x,x_0)\subset{U}^-(x_0):(f'(\xi)>0\wedge{f}(x)-f(x_0)=f'(\xi)(x-x_0))\Rightarrow{f}(x)-f(x_0)<0\Rightarrow{f}(x)<f(x_0)$$ Фиксируем $x\in{U}^+(x_0)$, тогда по теореме Лагранжа $$\exists\xi\in(x_0,x)\subset{U}^+(x_0):(f'(\xi)<0\wedge{f}(x)-f(x_0)=f'(\xi)(x-x_0))\Rightarrow{f}(x)-f(x_0)<0\Rightarrow{f}(x)<f(x_0)\Rightarrow \forall{x}\in\mathring{U}(x_0)(f(x)<f(x_0))$$
  2. Фиксируем $x\in{U}^-(x_0)$, тогда по теореме Лагранжа $$\exists\xi\in(x,x_0)\subset{U}^-(x_0):(f'(\xi)<0\wedge{f}(x)-f(x_0)=f'(\xi)(x-x_0))\Rightarrow{f}(x)-f(x_0)>0\Rightarrow{f}(x)>f(x_0)$$ Фиксируем $x\in{U}^+(x_0)$, тогда по теореме Лагранжа $$\exists\xi\in(x_0,x)\subset{U}^+(x_0):(f'(\xi)>0\wedge{f}(x)-f(x_0)=f'(\xi)(x-x_0))\Rightarrow{f}(x)-f(x_0)>0\Rightarrow{f}(x)>f(x_0)\Rightarrow \forall{x}\in\mathring{U}(x_0)(f(x)>x_0)$$
  3. Фиксируем окрестность $U'(x_0)$, существует $x_1\in{U}^-(x_0)\cap{U}'(x_0)$, существует $x_2\in{U}^+(x_0)\cap{U}'(x_0)$. Аналогично пунктам 1 и 2 по теореме Лагранжа доказывается, что $$\forall{x}\in\mathring{U}(x_0)(f'(x)<0)\Rightarrow(f(x_1)>f(x_0)\wedge{f}(x_2)<f(x_0))$$ $$\forall{x}\in\mathring{U}(x_0)(f'(x)>0)\Rightarrow(f(x_1)<f(x_0)\wedge{f}(x_2)>f(x_0))$$ Таким образом доказано, что любая окрестность точки $x_0$ содержит точки $x',x''$ такие, что $f(x')<f(x_0)$, $f(x'')>f(x_0)$, что противоречит определению локального экстремума.


Следствие 6.6.1: Вариант утверждения 6.6.3 для нестрогих экстремумов.
Если функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ и точка $x_0\in{i}nt{E}$ удовлетворяют условиям

  1. $\exists{U}(x_0):\forall{x}\in\mathring{U}(x_0)\:\exists{f}'(x)$,

  2. функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$,
тогда
  1. если $$\forall{x}\in{U}^-(x_0)(f'(x)\geq0)\wedge\forall{x}\in{U}^+(x_0)(f'(x)\leq0)$$ то $x_0$ точка внутреннего локального максимума,
  2. если $$\forall{x}\in{U}^-(x_0)(f'(x)\leq0)\wedge\forall{x}\in{U}^+(x_0)(f'(x)\geq0)$$ то $x_0$ точка внутреннего локального минимума.

Доказательство: Доказывается аналогично утверждению 6.6.3.

Пример 6.6.7: Условия существования локального экстремума приводимые в утверждении 6.6.3 являются достаточными, но не необходимыми. То есть существуют функции $f(x)$ и точки $x_0$ такие, что условия утверждения 6.6.3 для них не выполняются и тем не менее $x_0$ является точкой локального экстремума для функции $f(x)$. Например, рассмотрим функцию $f(x)=\begin{cases}2x^2+x^2\sin\frac1{x}, & x\neq0\\0, & x=0\end{cases}$ и точку $x_0=0$. Для любого $x\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$ существует производная $f'(x)=4x+2x\sin\frac1{x}-\cos\frac1{x}$. Существует производная в точке $x_0=0$ $\displaystyle{f}'(0)=\lim_{x\to0}\frac{x^2\sin\frac1{x}}{x}=\lim_{x\to0}\left(x\sin\frac1{x}\right)=0$. То есть необходимые условия существования в точке 0 локального экстремума выполнены. И так как для любого $x\in\mathbb{R}$ $f(x)\geq{x}^2\geq{f}(0)=0$, то точка $x_0=0$ действительно является точкой локального экстремума функции $f(x)$. Однако, функция $f(x)$ не удовлетворяет условиям утверждения 6.6.3 в точке $x_0=0$, так как $$\forall{U}(0)\:\exists{x}_1,x_2\in{U}^-(0):\sgn{f}'(x_1)\neq\sgn{f}'(x_2)$$ Действительно, для любого $\delta>0$ существует $n\in\mathbb{N}$ такое, что $\frac1{n}<\delta$, следовательно, существуют $x':=\frac1{4n\pi}<\delta$ и $x'':=\frac1{(4n+1)\pi}<\delta$ и $f'(x')=\frac1{n\pi}+\frac2{n\pi}\sin(4n\pi)-\cos(4n\pi)=\frac1{n\pi}-1<0$, $f'(x'')=\frac4{(4n+1)\pi}+\frac2{(4n+1)\pi}\sin((4n+1)\pi)-\cos((4n+1)\pi)=\frac4{(4n+1)\pi}+1>0$.

Утверждение 6.6.4: Достаточные условия существования внутреннего локального экстремума в терминах старших производных.
Если функция $f(x):E\to\mathbb{R}$, точка $x_0\in{i}nt{E}$ и натуральное число $n>1$ удовлетворяют условиям

  1. $\exists{U}(x_0):\forall{x}\in{U}(x_0),\forall{k}\in\overline{1,n-1}\:\exists{f}^{(k)}(x)$,

  2. $\forall{k}\in\overline{1,n-1}(f^{(k)}(x_0)=0)$,

  3. $\exists{f}^{(n)}(x_0)\neq0$
(то есть число $n$ это наименьший порядок производной функции $f(x)$ такой, что производная не обращается в нуль в точке $x_0$), тогда
  1. если $n$ четно, то $x_0$ точка внутреннего локального экстремума, при этом:
  2. если $n$ нечетно, то $x_0$ не является точкой внутреннего локального экстремума.

Доказательство: Из предпосылок 1 и 2 следует, что для функции $f(x)$ можно применить формулу Тэйлора степени $n$ с центром в точке $x_0$. $$(f(x)=f(x_0)+\sum_{k=1}^n\left(\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\right)+o((x-x_0)^n),\:x\to{x}_0\wedge\forall{k}\in\overline{1,n-1}(f^{(k)}(x_0)=0)\wedge {f}^{(n)}(x_0)\neq0)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow{f}(x)-f(x_0)=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)=(x-x_0)^n\left(\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}+o(1)\right),\:x\to{x}_0\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\exists{U}^*(x_0)\subset{U}(x_0):\forall{x}\in{U}^*(x_0)\left(\sgn\left(\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}+o(1)\right)=\sgn{f}^{(n)}(x_0)\right)\Rightarrow \forall{x}\in{U}^*(x_0)(\sgn(f(x)-f(x_0))=\sgn(f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n)),x\to{x}_0$$ Тогда

  1. если $n$ четно, то $$\forall{x}\in{E}((x-x_0)^n>0)\Rightarrow\forall{x}\in{U}^*(x_0)(\sgn(f(x)-f(x_0))=\sgn{f}^{(n)}(x_0)),$$ следовательно,
  2. если $n$ нечетно, тогда $n-1$ четно, и $$\sgn(x-x_0)^n=\sgn((x-x_0)^{n-1}(x-x_0))=\sgn(x-x_0)\Rightarrow\sgn(f(x)-f(x_0))=\sgn(f^{(n)}(x_0)(x-x_0))=\sgn{f}^{(n)}(x_0)\sgn(x-x_0)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\forall{x}\in{U}^*(x_0)(x<x_0\Rightarrow\sgn(f(x)-f(x_0))=-\sgn{f}^{(n)}(x_0)\wedge{x}>x_0\Rightarrow\sgn(f(x)-f(x_0))=\sgn{f}^{(n)}(x_0))$$ разность $f(x)-f(x_0)$ меняет знак при переходе через точку $x_0$, следовательно, точка $x_0$ не является точкой локального экстремума функции $f(x)$.


Пример 6.6.8: Рассмотрим функцию $f(x)=x^n+c_1x^{n+1}+\dots+c_mx^{n+m}$ в точке $x_0=0$.
$f'(x)=nx^{n-1}+c_1(n+1)x^n+\dots+c_m(n+m)x^{n+m-1}$$\Rightarrow$$f'(0)=0$
$f''(x)=n(n-1)x^{n-2}+c_1(n+1)nx^{n-1}+\dots+c_m(n+m)(n+m-1)x^{n+m-2}$$\Rightarrow$$f''(0)=0$
$\dots$
$f^{(n-1)}(x)=n(n-1)\dots2x^{n-(n-1)}+xg(x)=n!x+xg(x)$$\Rightarrow$$f^{(n-1)}(0)=0$
$f^{(n)}(x)=n!x^{n-n}+xh(x)=n!+xh(x)$$\Rightarrow$$f^{(n)}(0)=n!>0$
Следовательно, если $n$ четно, то точка $x_0=0$ точка внутреннего локального минимума для функции $f(x)$.

previous contents next