Определение 6.6.1: Пусть $a,b\in\overline{\mathbb{R}}$ такие, что $a<b$, тогда функция $f(x):(a,b)\to\mathbb{R}$
называется выпуклой (выпуклой вниз) если
$$\forall{x}_1,x_2\in(a,b),\forall\alpha_1\geq0,\forall\alpha_2\geq0(\alpha_1+\alpha_2=1\Rightarrow
{f}(\alpha_1x_1+\alpha_2x_2)\leq\alpha_1f(x_1)+\alpha_2f(x_2)).$$
$\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}$
Так как $\alpha_1,\alpha_2$ положительны, и $\alpha_1+\alpha_2=1$, то $\alpha_1,\alpha_2\in[0,1]$ и $\alpha_1=1-\alpha_2$.
Положим $\alpha:=\alpha_1$, тогда $\alpha_2=1-\alpha$ и в условиях определения 6.6.1
$$\forall{x}_1,x_2\in(a,b),\forall\alpha\in[0,1](f(\alpha{x}_1+(1-\alpha)x_2)\leq\alpha{f}(x_1)+(1-\alpha)f(x_2))\Rightarrow
\forall{x}_1,x_2\in(a,b),\forall\alpha\in[0,1](f(\alpha(x_1-x_2)+x_2)\leq\alpha(f(x_1)-f(x_2))+f(x_2))$$
Без ограничения общности будем считать, что $x_1<x_2$ и положим $x:=x_2-(x_2-x_1)\alpha$, тогда $x\in[x_1,x_2]$ и $\alpha=\frac{x_2-x}{x_2-x_1}$.
Тогда условие выпуклости функции $f(x)$ на интервале $(a,b)$ можно записать в виде: для любых $x_1,x_2\in(a,b)$ таких, что $x_1<x_2$ выполняется
$$\forall{x}\in[x_1,x_2]\left(f\left(\frac{x_2-x}{x_2-x_1}(x_1-x_2)+x_2\right)\leq\frac{x_2-x}{x_2-x_1}(f(x_1)-f(x_2))+f(x_2)\right)\Rightarrow$$
$$\Rightarrow\forall{x}\in[x_1,x_2]\left({f}(x)\leq\frac{x_2-x}{x_2-x_1}(f(x_1)-f(x_2))+f(x_2)\right)$$
Выражение стоящее в правой части неравенства, линейно зависит от $x$ и определено на $\mathbb{R}$, следовательно, она задает прямую
$y(x)=\frac{x_2-x}{x_2-x_1}(f(x_1)-f(x_2))+f(x_2)$, при этом $y(x_1)=\frac{x_2-x_1}{x_2-x_1}(f(x_1)-f(x_2))+f(x_2)=f(x_1)-f(x_2)+f(x_2)=f(x_1)$ и
$f(x_2)=\frac{x_2-x_2}{x_2-x_1}(f(x_1)-f(x_2))+f(x_2)=f(x_2)$. То есть прямая $y(x)$ проходит через точки $(x_1,f(x_1))$, $(x_2,f(x_2))$.
Таким образом, геометрический смысл определения 6.6.1 состоит в том, что если функция выпукла на интервале $(a,b)$, то
любая хорда графика функции на этом интервале, лежит выше участка графика функции, который эта хорда стягивает.
Определение 6.6.2: Пусть $a,b\in\overline{\mathbb{R}}$ такие, что $a<b$, тогда функция $f(x):(a,b)\to\mathbb{R}$
называется вогнутой (выпуклой вверх) если функция $-f(x)$ выпукла (выпукла вниз) на интервале $(a,b)$.
Замечание к геометрическому смыслу определения выпуклости.
Важно понимать, что для выпуклости функции $f(x)$ на интервале $(a,b)$ не достаточно того, чтобы график функции на интервале $(a,b)$ лежал
ниже хорды проходящей через точки $(a,f(a))$, $(b,f(b))$ (функция $f(x)$ может быть даже не определена в точках $a$ и\или $b$).
Например, функция
$f(x)=x^4+x^3-x^2-x-1$ не выпукла на интервале $(-2,1)$ (так же как и на интервале $(-\infty,+\infty)$), но выпукла на интервале $(0,1)$.
При этом функция $f(x)$ так же и не вогнута на интервале $(-2,1)$, то есть, вообще говоря, отсутствие выпуклости функции на интервале
не влечет ее вогнутость на этом интервале.
Получим некоторое эквивалентное выражение для определения выпуклости:
В условиях определения 6.6.1
$$\forall{x}_1,x_2\in(a,b),\forall\alpha_1\geq0,\forall\alpha_2\geq0(\alpha_1+\alpha_2=1
\Rightarrow{f}(\alpha_1x_1+\alpha_2x_2)\leq\alpha_1f(x_1)+\alpha_2f(x_2))$$
положим $x:=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2$, тогда
$$\left(\alpha_1=\frac{x_2-x}{x_2-x_1}\wedge\alpha_2=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\wedge{x}_1<x<x_2\right)\Rightarrow
f(x)\leq\frac{x_2-x}{x_2-x_1}f(x_1)+\frac{x-x_1}{x_2-x_1}f(x_2)\Rightarrow$$
$$\Rightarrow{f}(x)(x_2-x_1)=f(x_2-x_1+x-x)\leq{f}(x_1)(x_2-x)+f(x_2)(x-x_1)\Rightarrow
{f}(x)(x_2-x)+f(x)(x-x_1)\leq{f}(x_1)(x_2-x)+f(x_2)(x-x_1)\Rightarrow$$
$$\Rightarrow(f(x)-f(x_1))(x_2-x)\leq(f(x_2)-f(x))(x-x_1)\Rightarrow\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}\leq\frac{f(x_2)-f(x)}{x_2-x}$$
Таким образом условие выпуклости функции $f(x)$ на интервале $(a,b)$ можно записать в виде
$$\forall{x},x_1,x_2\in(a,b)\left(x_1<x<x_2\Rightarrow\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}\leq\frac{f(x_2)-f(x)}{x_2-x}\right)\quad(4)$$
Утверждение 6.6.5: Пусть $a,b\in\overline{\mathbb{R}}$ такие, что $a<b$ и функция $f(x):(a,b)\to\mathbb{R}$ дифференцируема на $(a,b)$, тогда функция $f(x)$ выпукла на интервале $(a,b)$ тогда и только тогда, когда производная $f'(x)$ не убывает на интервале $(a,b)$.
Доказательство: Фиксируем $x_1,x_2\in(a,b)$ такие, что $x_1<x_2$.
Следствие 6.6.2: Пусть $a,b\in\overline{\mathbb{R}}$ такие, что $a<b$ и функция $f(x):(a,b)\to\mathbb{R}$ дифференцируема на $(a,b)$, тогда
Доказательство:
Пример 6.6.9: Пусть $a\neq1$, $a>0$. Рассмотрим функцию $f(x)=a^x:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$
Для любого $x\in\mathbb{R}$ $f''(x)=a^x\ln^2a>0$, следовательно, функция $a^x$ выпукла на $\mathbb{R}$.
Пример 6.6.10: Рассмотрим функцию $f(x)=x^\alpha:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$
Для любого $x\in(0,+\infty)$ $f''(x)=\alpha(\alpha-1)x^{\alpha-2}$.
Так как $x>0$, то $x^{\alpha-2}>0$, значит для любого $x\in(0,+\infty)$ $\sgn{f}''(x)=\sgn\alpha(\alpha-1)$.
Значит функция $f''(x)$ положительна тогда и только тогда, когда $\sgn\alpha=\sgn(\alpha-1)$, то есть при $\alpha>1$ и $\alpha<0$.
Таким образом функция $x^\alpha$ вогнута на $(0,+\infty)$ при $\alpha\in(0,1)$ и выпукла при $\alpha\in\mathbb{R}\backslash(0,1)$.
При $\alpha=0$ $f(x)=-f(x)\equiv1$, $f'(x)=(-f)'(x)\equiv0$, следовательно, выпуклыми являются и функция $f(x)$
и функция $-f(x)$, то есть функция $f(x)$ и выпукла и вогнута на $(0,+\infty)$.
При $\alpha=1$ $f(x)=x$, $f'(x)\equiv1$, $-f'(x)\equiv-1$, следовательно, выпуклыми являются и функция $f(x)$
и функция $-f(x)$, то есть функция $f(x)$ и выпукла и вогнута на $(0,+\infty)$.
Определение 6.6.3: Точка перегиба.
Число $x_0\in{i}nt{E}$ является точкой перегиба функции $f(x):E\to\mathbb{R}$, если
Определение 6.6.4: Критическая точка второго рода.
Число $x_0\in{i}nt{E}$ является критической точкой второго рода функции $f(x):E\to\mathbb{R}$, если
Утверждение 6.6.6: Необходимые и достаточные условия существования точки перегиба.
Пусть функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ и число $x_0\in{i}nt{E}$ удовлетворяют условиям
Доказательство:
Из утверждения в частности следует, что точки перегиба следует искать, только среди критических точек второго рода.
Будем говорить, что функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ имеет в точке $x_0\in\mathring{E}$ вертикальную асимптоту, если хотя бы один из пределов
при $x\to{x}_0-0$ или $x\to{x}_0+0$ равен $\infty$.
Для произвольной функции $f(x):E\to\mathbb{R}$ введем в рассмотрение функцию $M_f(x):E\to\mathbb{R}^2$ такую, что для любого $x\in{E}$
$M_f(x)=(x,f(x))$.
Введем в рассмотрение функцию расстояния между точками плоскости $\rho((x_1,y_1),(x_2,y_2)):=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$.
Определение 6.6.5: Наклонная асимптота.
Пусть существует число $M\in\mathbb{R}$ такое, что $[M,+\infty)\subset{E}$ и $a,b\in\mathbb{R}$, тогда будем говорить,
что прямая $y(x)=ax+b$ является наклонной асимптотой для графика функции $f(x):E\to\mathbb{R}$ при $x\to+\infty$, если
$\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to+\infty}\rho(M_f(x),M_y(x))=0$.
Так как $M_f(x)=(x,f(x))$, $M_y(x)=(x,y(x))$, то $\rho(M_f(x),M_y(x))=\sqrt{(x-x)^2+(f(x)-y(x))^2}=|f(x)-y(x)|=|f(x)-ax-b|$.
Таким образом, прямая $y(x)=ax+b$ является наклонной асимптотой для графика функции $f(x)$ при $x\to+\infty$ тогда и только тогда,
когда $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}|f(x)-ax-b|=0$.
Пример 6.6.11: Рассмотрим функцию $f(x)=\frac{\sin{x}}{x}$ и прямую $y(x)\equiv0$ ($a=b=0$).
$$\lim_{E\ni{x}\to+\infty}|f(x)-y(x)|=\lim_{E\ni{x}\to+\infty}|f(x)|=\lim_{E\ni{x}\to+\infty}\left|\frac{\sin{x}}{x}\right|=0$$
Следовательно, прямая $y(x)\equiv0$ - наклонная асимптота для функции $f(x)=\frac{\sin{x}}{x}$ при $x\to+\infty$.
Утверждение 6.6.7: Критерий наличия наклонной асимптоты.
Пусть существует число $M\in\mathbb{R}$ такое, что $[M,+\infty)\subset{E}$ и $a,b\in\mathbb{R}$, тогда прямая $y=ax+b$ является наклонной асимптотой
для графика функции $f(x):E\to\mathbb{R}$ при $x\to+\infty$ тогда и только тогда, когда существуют пределы
$\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=a$ и $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to+\infty}(f(x)-ax)=b$.
Доказательство: Из определения предела функции следует $$\lim_{E\to{x}\to+\infty}|f(x)-ax-b|\Leftrightarrow\lim_{E\ni{x}\to+\infty}(f(x)-ax-b)=0$$
Подводя итоги приведем примерную схему построения графика функции с применением методов дифференциального исчисления.