8.2.3 Интеграл как предел интегральных сумм (сумм Римана).

Утверждение 8.2.7: $$f(x)\in{C}[a,b]\Rightarrow\forall\varepsilon>0\:\exists\delta>0:\left(\lambda(P)<\delta\Rightarrow \left|\sigma(f,P,\xi,\alpha)-\int\limits_a^bf(x)d\alpha\right|<\varepsilon\right)$$

Доказательство: $$\forall(P,\xi)\left(s(f,P,\alpha)\leq\sigma(f,P,\xi,\alpha)\leq{S}(f,P,\alpha)\wedge {s}(f,P,\alpha)\leq\int\limits_a^bf(x)d\alpha\leq{S}(f,P,\alpha)\right)\Rightarrow \forall(P,\xi)\left(\left|\sigma(f,P,\xi,\alpha)-\int\limits_a^bf(x)d\alpha\right|\leq{S}(f,P,\alpha)-s(f,P,\alpha)\right)$$ Функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, следовательно, она равномерно непрерывна на нем. Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда $$\exists\delta>0:\forall{P}=\{x_1,x_2,\dots,x_n\}\left(\lambda(P)<\delta\Rightarrow \forall{i}\in\overline{1,n}\left(\omega(f,\Delta_i)<\frac{\varepsilon}{2(\alpha(b)-\alpha(a))}\right)\right)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\forall(P,\xi)\left(\left|\sigma(f,P,\xi,\alpha)-\int\limits_a^bf(x)d\alpha)\right|\leq{S}(f,P,\alpha)-s(f,P,\alpha)= \sum_{i=1}^n(\omega(f,\Delta_i)\Delta\alpha_i)<\frac{\varepsilon}{2(\alpha(b)-\alpha(a))}\sum_{i=1}^n\Delta\alpha_i= \frac{\varepsilon}{2(\alpha(b)-\alpha(a))}(\alpha(b)-\alpha(a))=\frac{\varepsilon}{2}\right)$$

Определение 8.2.8: Функция $f(x):[a,b]\to\mathbb{R}$ ограничена, функция $\alpha(x):[a,b]\to\mathbb{R}$ не убывает. Будем говорить, что существует предел $A\in\mathbb{R}$ интегральных сумм для функции $f(x)$ относительно порождающей функции $\alpha(x)$ если $$\forall\varepsilon>0\:\exists\delta>0:\forall(P,\xi)(\lambda(P)<\delta\Rightarrow|\sigma(f,P,\xi,\alpha)-A|<\varepsilon)$$ В этом случае используют обозначение $\displaystyle\lim_{\lambda(P)\to0}\sigma(f,P,\xi,\alpha)=A$.

То есть указанный предел существует и равен $A$ если для любого $\varepsilon>0$, существует $\delta>0$ такое, что для любого разбиения с помеченными точками $(P,\xi)$ такого, что $\lambda(P)<\delta$ вне зависимости от выбора концов отрезков и помеченных точек выполняется неравенство $|\sigma(f,P,\xi,\alpha)-A|<\varepsilon$.

Утверждение 8.2.8: $$\exists{A}:=\lim_{\lambda(P)\to0}\sigma(f,P,\xi,\alpha)\Rightarrow\left(f(x)\in\mathcal{R}(\alpha)[a,b]\wedge\int\limits_a^bf(x)d\alpha=A\right)$$

Доказательство: Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда $$\exists\delta>0:\forall(P,\xi)\left(\lambda(P)<\delta\Rightarrow|\sigma(f,P,\xi,\alpha)-A|<\frac{\varepsilon}{4}\Rightarrow A-\frac{\varepsilon}{4}<\sigma(f,P,\xi,\alpha)<A+\frac{\varepsilon}{4}\right)$$ Тогда для любого разбиения $P$ такого что $\lambda(P)<\delta$ верно $$\left(S(f,P,\alpha)=\sup_{(\xi)}\sigma(f,P,\xi,\alpha)\leq{A}+\frac{\varepsilon}{4}\wedge {s}(f,P,\alpha)=\inf_{(\xi)}\sigma(f,P,\xi,\alpha)>A-\frac{\varepsilon}{4}\right)\Rightarrow S(f,P,\alpha)-s(f,P,\alpha)\leq{A}+\frac{\varepsilon}{4}-A+\frac{\varepsilon}{4}=\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon\Rightarrow{f}(x)\in\mathcal(R)[a,b].$$ $$\lambda(P)<\delta\Rightarrow{A}-\frac{\varepsilon}{4}\leq{s}(f,P,\alpha)\leq\int\limits_a^bf(x)d\alpha\leq{S}(f,P,\alpha)\leq {A}+\frac{\varepsilon}{4}\Rightarrow\left|\int\limits_a^bf(x)d\alpha-A\right|\leq\frac{\varepsilon}{4}<\varepsilon\Rightarrow \int\limits_a^bf(x)d\alpha=A$$

В утверждение 8.2.8 доказывается интегрируемость по Стилтьесу, но используется подход Римана.

Утверждение 8.2.9:

1. $$f(x)\in{C}[a,b]\Rightarrow\exists\lim_{\lambda(P)\to0}\sigma(f,P,\xi,\alpha)=\int\limits_a^bf(x)d\alpha$$
2. $$(f(x)\in\mathcal{R}(\alpha)[a,b]\wedge\alpha(x)\in{C}[a,b])\Rightarrow\exists\lim_{\lambda(P)\to0}\sigma(f,P,\xi,\alpha)=\int\limits_a^bf(x)d\alpha$$

Доказательство:

1. По утверждению 8.2.7 $$f(x)\in{C}[a,b]\Rightarrow\forall\varepsilon>0\:\exists\delta>0:\forall(P,\xi)\left(\lambda(P)<\delta\Rightarrow \left|\sigma(f,P,\xi,\alpha)-\int\limits_a^bf(x)d\alpha\right|<\varepsilon\right)\Rightarrow \exists\lim_{\lambda(P)\to0}\sigma(f,P,\xi,\alpha)=\int\limits_a^bf(x)d\alpha.$$
2. Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда $$\int\limits_a^bf(x)d\alpha=\inf_{(P)}{S}(f,P,\alpha)\Rightarrow \exists{P}^*:=\{x_1^*,x_2^*,\dots,x_{n^*}^*\}:S(f,P^*,\alpha)<\int\limits_a^bf(x)d\alpha+\frac{\varepsilon}{4}$$ Так как функция $f(x)$ интегрируема, следовательно, она ограничена, значит существует $M:=\sup\{|f(x)|:x\in[a,b]\}$. Порождающая функция $\alpha(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, следовательно, она равномерно непрерывна на нем, значит $$\exists\delta_1>0:\forall{x}',x''\in[a,b]\left(|x'-x''|<\delta_1\Rightarrow|\alpha(x')-\alpha(x'')|<\frac{\varepsilon}{8Mn^*}\right)\Rightarrow \forall{P}':=\{x'_1,x'_2,\dots,x'_m\}\left(\lambda(P)<\delta_1\Rightarrow \forall{i}\in\overline{1,m}\left(\Delta\alpha_i=\alpha(x'_i)-\alpha(x'_{i-1})<\frac{\varepsilon}{8Mn^*}\right)\right)$$ Фиксируем разбиение $P=\{x_1,x_2,\dots,x_n\}$ такое, что $\lambda(P)<\delta_1$. Пусть числа $\{u_1,u_2,\dots,u_r\}\subset\overline{1,n}$ такие, что каждый из отрезков $\Delta_{u_i}$ разбиения $P$ содержит хотя бы одну точку разбиения $P^*$, то есть $$\forall{i}\in\overline{1,r}(\exists{j}\in\overline{1,n^*-1}:x_j^*\in\Delta_{u_j}=[x_{u_i-1},x_{u_i},]).$$ Обозначим $\{v_1,v_2,\dots,v_t\}:=\overline{1,n}\backslash\{u_1,u_2,\dots,u_r\}$, тогда $$S(f,P,\alpha)=\sum_{i=1}^n(M_i\Delta\alpha_i)=\sum_{i=1}^r\left(M_{u_i}\Delta\alpha_{u_i}\right)+\sum_{i=1}^t\left(M_{v_i}\Delta\alpha_{v_i}\right)$$ Число точек разбиения $P^*$ не считая концов отрезка равно $n^*-1$. Каждая точке может содержаться не более чем в двух отрезках разбиения $P$, следовательно, число слагаемых в первой сумме не превосходит $2(n^*-1)$, тогда $$\lambda(P)<\delta_1\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,n}\left(\Delta\alpha_i<\frac{\varepsilon}{8Mn^*}\right)\Rightarrow \sum_{i=1}^r\left(M_{u_i}\Delta\alpha_{u_i}\right)\leq{M}\sum_{i=1}^r\Delta\alpha_{u_i}\leq{M}2(n^*-1)\frac{\varepsilon}{8Mn^*}<\frac{\varepsilon}{4}$$ Ни одна из точек $\{v_1,v_2,\dots,v_t\}$ не совпадает ни с одной из точек разбиения $P^*$, следовательно, можно построить разбиение $P^{**}:=P^*\cup\{v_1,v_2,\dots,v_t\}$. Так как $P^*\prec{P}^{**}$ то $S(f,P^{**},\alpha)\leq{S}(f,P^*\alpha)$. С другой стороны, все слагаемые из суммы $\sum_{i=1}^t(M_{v_i}\Delta\alpha_{v_i})$ содержаться в сумме $S(f,P^{**},\alpha)$, так как ни одна из точек разбиения $P^*$ не содержится ни в одном отрезке $\Delta_{v_i}$, следовательно, $$\sum_{i=1}^t\left(M_{v_i}\Delta\alpha_{v_i}\right)\leq{S}(f,P^{**},\alpha)\leq{S}(f,P^*,\alpha)<\int\limits_a^bf(x)d\alpha+\frac{\varepsilon}{4}$$ и $$S(f,P,\alpha)=\sum_{i=1}^r\left(M_{u_i}\Delta\alpha_{u_i}\right)+\sum_{i=1}^t\left(M_{v_i}\Delta\alpha_{v_i}\right)< \frac{\varepsilon}{4}+\int\limits_a^bf(x)d\alpha+\frac{\varepsilon}{4}=\int\limits_a^bf(x)d\alpha+\frac{\varepsilon}{2}$$ Таким образом $$\forall{P}\left(\lambda(P)<\delta_1\Rightarrow{S}(f,P,\alpha)<\int\limits_a^bf(x)d\alpha+\frac{\varepsilon}{2}\right)$$ Аналогично можно доказать, что существует $\delta_2>0$ такое, что $$\forall{P}\left(\lambda(P)<\delta_2\Rightarrow{s}(f,P,\alpha)>\int\limits_a^bf(x)d\alpha-\frac{\varepsilon}{2}\right)$$ Тогда существует $$\exists\delta:=\min\{\delta_1,\delta_2\}>0:\forall(P,\xi)\left(\lambda(P)<\delta\Rightarrow \int\limits_a^bf(x)d\alpha-\frac{\varepsilon}{2}<s(f,P,\alpha)\leq\sigma(f,P,\xi,\alpha)\leq{S}(f,P,\alpha)< \int\limits_a^bf(x)d\alpha+\frac{\varepsilon}{2}\Rightarrow\left|\sigma(f,P,\xi,\alpha)-\int\limits_a^bf(x)d\alpha\right|<\varepsilon\right)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\exists\lim_{\lambda(P)\to0}\sigma(f,P,\xi,\alpha)=\int\limits_a^bf(x)d\alpha.$$

Здесь и далее в обозначениях для интегральных сумм $S(f,P,\alpha)$, $s(f,P,\alpha)$, $\sigma(f,P,\xi,\alpha)$ при $\alpha(x)\equiv{x}$ порождающая функция опускается: $S(f,P)$, $s(f,P)$, $\sigma(f,P,\xi)$.

Лемма 8.2.1: $f(x),g(x)\in\mathcal{R}[a,b]\Rightarrow{f}(x)g(x)\in\mathcal{R}[a,b]$

Доказательство: Функции $f(x),g(x)\in\mathcal{R}[a,b]$, следовательно, они ограничены на $[a,b]$. Обозначим $$K:=\sup_{x\in[a,b]}|f(x)|,L:=\sup_{x\in[a,b]}|g(x)|$$ тогда $$\forall{x}',x''\in\Delta\subset[a,b](|f(x'')g(x'')-f(x')g(x')|=|f(x'')g(x'')-f(x')g(x'')+f(x')g(x'')-f(x')g(x')|=$$ $$=|(f(x'')-f(x'))g(x'')+(g(x'')-g(x'))f(x')|\leq|f(x'')-f(x')||g(x'')|+|g(x'')-g(x')||f(x')|\leq\omega(f,\Delta)L+\omega(g,\Delta)K)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\forall\Delta\subset[a,b](\omega(fg,\Delta)\leq\omega(f,\Delta)L+\omega(g,\Delta)K)\quad(*)$$ Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда $$f(x)\in\mathcal{R}[a,b]\Rightarrow\exists{P}_1:S(f,P_1)-s(f,P_1)=\sum_{(P_1)}(\omega(f,\Delta_i)\Delta{x}_i)<\frac{\varepsilon}{2L}$$ $$g(x)\in\mathcal{R}[a,b]\Rightarrow\exists{P}_2:S(g,P_2)-s(g,P_2)=\sum_{(P_2)}(\omega(g,\Delta_i)\Delta{x}_i)<\frac{\varepsilon}{2K}$$ Обозначим $P:=P_1\cap{P}_2$, тогда $$S(fg,P)-s(fg,P)=\sum_{(P)}(\omega(fg,\Delta_i)\Delta{x}_i)\leq^{(*)}\sum_{(P)}((\omega(f,\Delta_i)L+\omega(g,\Delta_i)K)\Delta{x}_i)= L\sum_{(P)}(\omega(f,\Delta_i)\Delta{x}_i)+K\sum_{(P)}(\omega(g,\Delta_i)\Delta{x}_i)<L\frac{\varepsilon}{2L}+K\frac{\varepsilon}{2K}=\varepsilon$$

Утверждение 8.2.10: Сведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана.
Если функции $f(x):[a,b]\to\mathbb{R}$, $\alpha(x):[a,b]\to\mathbb{R}$ такие, что

1. $f(x)\in\mathcal{R}[a,b]$,


2. $\forall{x}\in[a,b]\:\exists\alpha'(x)$,


3. $\alpha'(x)\in\mathcal{R}[a,b]$,

Доказательство: Так как $f(x),\alpha'(x)\in\mathcal{R}[a,b]$, то по лемме 8.2.1 $f(x)\alpha'(x)\in\mathcal{R}[a,b]$. Тогда по пункту 2 утверждения 8.2.9 при порождающей функции тождественно равной $x$ $$\exists\lim_{\lambda(P)\to0}\sigma(f\alpha',P,\xi)=\int\limits_a^bf(x)\alpha'(x)dx$$ Обозначим $\displaystyle{M}:=\sup_{x\in[a,b]}|f(x)|$ и зафиксируем $\varepsilon>0$, тогда $$\lim_{\lambda(P)\to0}\sigma(f\alpha',P,\xi)=\int\limits_a^bf(x)\alpha'(x)dx\Rightarrow \exists\delta_1>0:\forall(P,\xi)\left(\left|\sigma(f\alpha',P,\xi)-\int\limits_a^bf(x)\alpha'(x)dx\right|<\frac{\varepsilon}{2}\right)\quad(14)$$ По утверждению 8.2.9 при порождающей функции тождественно равной $x$ $$\alpha'(x)\in\mathcal{R}[a,b]\Rightarrow\exists{A}:=\lim_{\lambda(P)\to0}\sigma(\alpha',P,\xi)\Rightarrow \exists\delta_2>0:\forall(P,\xi)\left(\lambda(P)<\delta_2\Rightarrow|\sigma(\alpha',P,\xi)-A|<\frac{\varepsilon}{8M}\Rightarrow A-\frac{\varepsilon}{8M}<\sigma(\alpha',P,\xi)<A+\frac{\varepsilon}{8M}\right)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\forall{P}\left(\lambda(P)<\delta_2\Rightarrow\left(S(\alpha',P)=\sup_{(\xi)}\sigma(\alpha',P,\xi)\leq{A}+\frac{\varepsilon}{8M}\wedge {s}(\alpha',P)=\inf_{(\xi)}\sigma(\alpha',P,\xi)\geq{A}-\frac{\varepsilon}{8M}\right)\right)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\forall{P}\left(\lambda(P)<\delta_2\Rightarrow{S}(\alpha',P)-s(\alpha',P)\leq{A}+\frac{\varepsilon}{8M}-A+\frac{\varepsilon}{8M}=\frac{\varepsilon}{4M}<\frac{\varepsilon}{2M}\Rightarrow {S}(\alpha',P)-s(\alpha',P)=\sum_{(P)}(\omega(\alpha',\Delta_i)\Delta{x}_i)<\frac{\varepsilon}{2M}\right)\quad(15)$$ Обозначим $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$ и зафиксируем разбиение с помеченными точками $(P,\xi)$ такое, что $\lambda(P)<\delta$ тогда $$\sigma(f,P,\xi,\alpha)=\sum_{(P)}(f(\xi_i)\Delta\alpha_i)=\sum_{(P)}(f(\xi_i)(\alpha(x_i)-\alpha(x_{i-1})))$$ По теореме Лагранжа для любого отрезка $\Delta_i$ разбиения $P$ существует $\tilde\xi_i\in\Delta_i$ такое, что $\Delta\alpha_i=\alpha(x_i)-\alpha(x_{i-1})=\alpha'(\tilde\xi_i)(x_i-x_{i-1})=\alpha(\tilde\xi_i)\Delta{x}_i$, следовательно, $$\sigma(f,P,\xi,\alpha)=\sum_{(P)}(f(\xi_i)\Delta\alpha_i)=\sum_{(P)}(f(\xi_i)\alpha'(\tilde\xi_i)\Delta{x}_i)\Rightarrow \left|\sigma(f,P,\xi,\alpha)-\int\limits_a^bf(x)\alpha'(x)dx\right|= \left|\sum_{(P)}(f(\xi_i)\alpha'(\tilde\xi_i)\Delta{x}_i)-\int\limits_a^bf(x)\alpha'(x)dx\right|=$$ $$=\left|\sum_{(P)}(f(\xi_i)\alpha'(\tilde\xi_i)\Delta{x}_i)- \int\limits_a^bf(x)\alpha'(x)dx+\sum_{(P)}(f(\xi_i)\alpha(\xi_i)\Delta{x}_i)-\sum_{(P)}(f(\xi_i)\alpha'(\xi_i)\Delta{x}_i)\right|\leq$$ $$\leq\left|\sum_{(P)}(f(\xi_i)\alpha'(\xi_i)\Delta{x}_i)-\int\limits_a^bf(x)\alpha'(x)dx\right|+ \left|\sum_{(P)}(f(\xi_i)(\alpha'(\tilde\xi_i)-\alpha'(\xi_i))\Delta{x}_i)\right|\leq \left|\sum_{(P)}(f(\xi_i)\alpha'(\xi_i)\Delta{x}_i)-\int\limits_a^bf(x)\alpha'(x)dx\right|+ \left|\sum_{(P)}(f(\xi_i)\omega(\alpha',\Delta_i)\Delta{x}_i)\right|$$ Так как $\lambda(P)<\delta\leq\delta_1$, то из неравенства (14) следует $$\left|\sum_{(P)}(f(\xi_i)\alpha'(\xi_i)\Delta{x}_i)-\int\limits_a^bf(x)\alpha'(x)dx\right|\leq\frac{\varepsilon}{2}$$ и так как $\lambda(P)<\delta\leq\delta_2$, то из неравенства (15) в итоге имеем $$\left|\sum_{(P)}(f(\xi_i)\omega(\alpha',\Delta_i)\Delta{x}_i)\right|<M\frac{\varepsilon}{2M}=\frac{\varepsilon}{2}\Rightarrow \forall(P,\xi)\left(\lambda(P)<\delta\Rightarrow\left|\sigma(f,P,\xi,\alpha)-\int\limits_a^bf(x)\alpha'(x)dx\right|< \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\right)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\exists\lim_{\lambda(P)\to0}\sigma(f,P,\xi,\alpha)= \int\limits_a^bf(x)\alpha'(x)dx\Rightarrow\int\limits_a^bf(x)d\alpha=\int\limits_a^bf(x)\alpha'(x)dx.$$ где последняя импликация по утверждению 8.2.8

Замечание по пункту 3 условия теоремы. Третье условие необходимо так как несмотря на дифференцируемость функции $\alpha(x)$ на отрезке $[a,b]$ производная $\alpha'(x)$ может быть не интегрируема на нем. Например функция $\alpha(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac1{x}, & x\neq0\\0, & x=0\end{cases}$ на отрезке $[-1,1]$.

Утверждение 8.2.11: Если функции $f(x):[a,b]\to\mathbb{R}$, $\alpha(x):[a,b]\to\mathbb{R}$ такие, что

1. $f(x)\in{C}[a,b]$,


2. функция $\alpha(x)$ имеет конечное число точек разрыва первого рода $a\leq{c}_0<c_1<c_2<\dots<c_k\leq{b}$,
3. для любого $i\in\overline{1,k}$ функция $\alpha_i(x):[c_{i-1},c_i]\to\mathbb{R}:\alpha_i(x)= \begin{cases} \alpha(x), & c_{i-1}<x<c_i\\ \alpha(c_{i-1}+0), & x=c_{i-1}\\ \alpha(c_i-0), & x=c_i \end{cases}$ дифференцируема на $[c_{i-1},c_i]$ и $\alpha'_i(x)\in\mathcal{R}[c_{i-1},c_i]$,

Доказательство: См. например Фихтенгольц т. 3, стр. 98.

previous contents next