previous contents next
8.2.4 Замкнутость класса $\mathcal{R}(\alpha)[a,b]$ относительно основных операций.
Утверждение 8.2.12 Если функции $f(x),g(x),\alpha(x):[a,b]\to\mathbb{R}$, $\varphi(x):[c,d]\to\mathbb{R}$ такие, что
- $f(x),g(x)\in\mathcal{R}(\alpha)[a,b]$,
- $\varphi(x)\in{C}[c,b]$ и $f([a,b])\subset[c,d]$,
тогда,
- $f(x)+g(x)\in\mathcal{R}(\alpha)[a,b]$,
- $\varphi(f(x))\in\mathcal{R}(\alpha)[a,b]$,
- $\forall\beta\in\mathbb{R}(\beta{f}(x)\in\mathcal{R}[a,b])$,
- $|f(x)|\in\mathcal{R}(\alpha)[a,b]$,
- $f(x)g(x)\in\mathcal{R}(\alpha)[a,b]$,
- $\forall[a_1,b_1]\subset[a,b](f(x)\in\mathcal{R}(\alpha)[a_1,b_2])$.
Доказательство:
-
Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда
$$f(x)\in\mathcal{R}(\alpha)[a,b]\Rightarrow\exists{P}_1:S(f,P_1,\alpha)-s(f,P_1,\alpha)<\frac{\varepsilon}{2}$$
$$g(x)\in\mathcal{R}(\alpha)[a,b]\Rightarrow\exists{P}_2:S(g,P_2,\alpha)-s(f,P_2,\alpha)<\frac{\varepsilon}{2}$$
Из неравенства треугольников следует.
$$\forall{E}\subset[a,b](\omega(f+g,E)\leq\omega(f,E)+\omega(g,E))$$
Обозначим $P:=P_1\cup{P}_2$, тогда
$$S(f+g,P,\alpha)-s(f+g,P,\alpha)=\sum_{(P)}(\omega(f+g,\delta_i)\Delta\alpha_i)\leq
\sum_{(P)}(\omega(f,\Delta_i)\Delta\alpha_i)+\sum_{(P)}(\omega(g,\Delta_i)\Delta\alpha_i)=S(f,P,\alpha)-s(f,P,\alpha)+S(g,P,\alpha)-s(g,P,\alpha)\leq$$
$$\leq{S}(f,P_1,\alpha)-s(f,P_1,\alpha)+S(g,P_2,\alpha)-s(g,P_2,\alpha)<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$$
-
Функция $\varphi(x)$ непрерывна на отрезке $[c,d]$, следовательно, она ограничена
и равномерно непрерывна на нем. Обозначим $\displaystyle{K}:=\sup_{x\in[c,d]}|\varphi(x)|$, тогда
$$\exists\delta>0:\left(\delta<\frac{\varepsilon}{4K}\wedge
\forall{t},s\in[c,d]\left(|t-s|<\delta\Rightarrow|\varphi(t)-\varphi(s)|<\frac{\varepsilon}{2(\alpha(b)-\alpha(a))}\right)\right)\quad(16)$$
$$f(x)\in\mathcal{R}(\alpha)[a,b]\Rightarrow\exists{P}:=\{x_1,x_2,\dots,x_n\}:S(f,P,\alpha)-s(f,P,\alpha)<\delta^2.$$
Обозначим
$$\forall{i}\in\overline{1,n}\left(M_i:=\sup_{x\in\Delta_i}f(x),m_i:=\inf_{x\in\Delta_i}f(x),M_i^*:=\sup_{x\in\Delta_i}\varphi(f(x)),
m_i^*:=\inf_{x\in\Delta_i}\varphi(f(x))\right),$$
тогда $M_i^*-m_i^*\leq2K$. Обозначим
$$A:=\{i\in\overline{1,n}\:|\:M_i-m_i<\delta\},B:=\{i\in\overline{1,n}\:|\:M_i-m_i\geq\delta\},$$
тогда $A\cup{B}=\overline{1,n}$ и $A\cap{B}=\varnothing$. Оценим колебание функции $\varphi(f(x))$ на промежутках $\Delta_i$ таких, что $i\in{A}$
$$i\in{A}\Rightarrow{M}_i-m_i=\omega(f,\Delta_i)<\delta\Rightarrow\forall{x},y\in\Delta_i\left(|f(x)-g(x)|\leq\omega(f,\Delta)<\delta\Rightarrow^{(16)}
|\varphi(f(x))-\varphi(g(x))|<\frac{\varepsilon}{2(\alpha(b)-\alpha(a))}\right)\Rightarrow$$
$$\Rightarrow\omega(\varphi(f(x)),\Delta_i)<\frac{\varepsilon}{2(\alpha(b)-\alpha(a))}\quad(17)$$
С другой стороны
$$\delta\sum_{i\in{B}}\Delta\alpha_i=\sum_{i\in{B}}(\delta\alpha_i)\leq\sum_{i\in{B}}((M_i-m_i)\Delta\alpha_i)\leq\sum_{i=1}^n((M_i-m_i)\Delta\alpha_i)=
S(f,P,\alpha)-s(f,P,\alpha)<\delta^2\Rightarrow\sum_{i\in{B}}\Delta\alpha_i<\delta<\frac{\varepsilon}{4K}\quad(18)$$
Таким образом
$$S(\varphi(f(x)),P,\alpha)-s(\varphi(f(x)),P,\alpha)=\sum_{i=1}^n(M_i^*\Delta\alpha_i)-\sum_{i=1}^n(m_i^*\Delta\alpha_i)=
\sum_{i=1}^n((M_i^*-m_i^*)\Delta\alpha_i)=\sum_{i=1}^n\left(\omega(\varphi(f(x)),\Delta_i)\Delta\alpha_i\right)=$$
$$=\sum_{i\in{A}}\left(\omega(\varphi(f(x)),\Delta_i)\Delta\alpha_i\right)+\sum_{i\in{B}}\left(\omega(\varphi(f(x)),\Delta_i)\Delta\alpha_i\right)\leq^{(17)}
\sum_{i\in{A}}\left(\frac{\varepsilon}{2(\alpha(b)-\alpha(a))}(\alpha(b)-\alpha(a))\right)+\sum_{i\in{B}}(2K\Delta\alpha_i)=$$
$$=\frac{\varepsilon}{2(\alpha(b)-\alpha(a))}\sum_{i\in{A}}\Delta\alpha_i+2K\sum_{i\in{B}}\Delta\alpha_i\leq^{(18)}
\frac{\varepsilon}{2(\alpha(b)-\alpha(a))}(\alpha(b)-\alpha(a))+2K\frac{\varepsilon}{4K}=\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.$$
- Следует из пункта 2 при $\varphi(t):=\beta{t}$.
- Следует из пункта 2 при $\varphi(t):=|t|$.
-
По пункту 2 при $\varphi(t)=t^2$ для любой функции $f(x)\in\mathcal{R}(\alpha)[a,b]$ верно $f^2(x)\in\mathcal{R}(\alpha)[a,b]$.
Тогда по пункту 1 для любых двух функций $f(x),g(x)\in\mathcal{R}(\alpha)[a,b]$ верно $(f(x)+g(x))^2\in\mathcal{R}(\alpha)[a,b]$,
$(f(x)-g(x))^2\in\mathcal{R}(\alpha)[a,b]$. Тогда по пунктам 1 и 3 для любых двух функций $f(x),g(x)\in\mathcal{R}(\alpha)[a,b]$ верно
$f(x)g(x)=\frac1{4}((f(x)+g(x))^2-(f(x)-g(x))^2)\in\mathcal{R}(\alpha)[a,b]$.
-
Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда
$$f(x)\in\mathcal{R}(\alpha)[a,b]\Rightarrow\exists{P}:S(f,P,\alpha)-s(f,P,\alpha)<\varepsilon$$
Фиксируем $[a_1,b_1]\subset[a,b]$ и обозначим $\tilde{P}:=P\cup\{a_1,b_1\}:=\{x_1,x_2,\dots,x_n\}$, тогда $P\prec\tilde{P}$ и
$S(f,\tilde{P},\alpha)-s(f,\tilde{P},\alpha)<\varepsilon$. По определению разбиения $\tilde{P}$ существуют $i,j\in\overline{1,n}$ такие, что
$x_i=a$, $x_j=b$, значит существует разбиение $\tilde{P}^*:=\{x_{i+1},x_{i+2},\dots,x_j\}$ отрезка $[a_1,b_1]$, тогда
$$S(f,\tilde{P}^*,\alpha)-s(f,\tilde{P}^*,\alpha)=\sum_{\tilde{P}^*}(\omega(f,\Delta_k)\Delta\alpha_k)=\sum_{k=i+1}^j(\omega(f,\Delta_k)\Delta\alpha_k)\leq
\sum_{k=1}^n(\omega(f,\Delta_i)\Delta\alpha_i)=S(f,\tilde{P},\alpha)-s(f,\tilde{P},\alpha)<\varepsilon$$
8.2.5 Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману.
Определение 8.2.9: Числовое множество $E\subset\mathbb{R}$ имеет меру Лебега равную 0, если для любого $\varepsilon>0$
существует не более чем счетная система интервалов $\{I_n^{(\varepsilon)}\:|\:n\in{A}\subset\mathbb{N}\}$ такая, что
$E\subset\bigcup_{n\in{A}}I_n^{(\varepsilon)}$ и $\sum_{n\in{A}}|I_n^{(\varepsilon)}|<\varepsilon$. При этом используют обозначение $\mu(E)=0$.
Вообще говоря под $\sum_{n\in{A}}|I_n^{(\varepsilon)}|$ понимается сумма ряда. Если множество $A$ конечно, то все члены ряда начиная с
некоторого полагаются равными нулю. Так что неравенство $\sum_{n\in{A}}|I_n^{(\varepsilon)}|<\varepsilon$ означает, что ряд
$\sum_{n\in{A}}|I_n^{(\varepsilon)}|$ сходится и его сумма меньше $\varepsilon$.
Утверждение 8.2.13: Простейшие свойства множеств имеющих меру Лебега равной нулю.
- Если множество $E$ конечно, то $\mu(E)=0$.
- Объединение не более чем счетного числа множеств меры нуль имеет меру нуль.
- Счетное множество имеет меру нуль.
- Любое подмножество множества меры нуль имеет меру нуль.
- Мера Лебега любого числового отрезка не равна нулю.
Доказательство:
-
Пусть $card{E}=m\in\mathbb{N}$, то есть $E:=\{x_1,x_2,\dots,x_m\}$. Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда в качестве искомой совокупности интервалов
можно взять $m$ интервалов вида $I_n:=\left(x_n-\frac{\varepsilon}{2(m+1)},x_n+\frac{\varepsilon}{2(m+1)}\right)$, тогда
$\sum_{i=1}^m|I_n|=\frac{m}{m+1}\varepsilon<\varepsilon$.
-
Пусть $\{E_n\:|\:n\in{A}\subset\mathbb{N}\}$ не более чем счетная совокупность множеств такая, что для любого $n\in{A}$ $\mu(E_n)=0$.
Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда
$$\forall{n}\in{A}\left(\exists\left\{I_k^{(n)}\:\middle|\:k\in{A}_n\subset\mathbb{N}\right\}:
\left(E_n\subset\bigcup_{k\in{A}_n}I_k^{(n)}\wedge\sum_{k\in{A}_n}\left|I_k^{(n)}\right|<\frac{\varepsilon}{2^n}\right)\right)$$
Рассмотрим систему интервалов $\displaystyle{S}:=\bigcup_{n\in{A}}\left\{I_k^{(n)}\:\middle|\:k\in{A}_n\right\}$. Ряд
$\sum_{n\in{A}}\frac{\varepsilon}{2^n}$ сходится абсолютно, так как сходится абсолютно ряд $\sum_{n=1}^\infty\frac{\varepsilon}{2^n}$,
следовательно, сходится абсолютно повторный ряд $\sum_{n\in{A}}\sum_{k\in{A}_n}|I_k^{(n)}|<\sum_{n\in{A}}\frac{\varepsilon}{2^n}<\varepsilon$.
Следовательно, сходится двойной ряд $\sum_{(S)}|I_k^{(n)}|=\sum_{n\in{A},k\in{A}_n}|I_k^{(n)}|=\sum_{n\in{A}}\sum_{k\in{A}_n}|I_k^{(n)}|<\varepsilon$.
Доказательство последнего факта можно найти, например, в Фихтенгольц т. 2, стр. 337.
- Следует из пункта 2.
- Если некоторая система интервалов покрывает числовое множество, то оно покрывает и любое его подмножество.
-
Докажем индукцией по $n$, что для любой системы интервалов $\{I_k\:|\:k\in\overline{1,n}\}$ мощности $n$ и для любого отрезка $[a,b]$ верно
$$[a,b]\subset\bigcup_{k=1}^nI_k\Rightarrow\sum_{k=1}^n|I_k|>b-a>0.$$
При $n=1$ $I_1=(\alpha,\beta)$
$$[a,b]\subset(\alpha,\beta)\Rightarrow\alpha<a<b<\beta\Rightarrow|(\alpha,\beta)|=\beta-\alpha>b-a.$$
Пусть утверждение верно для $n=k$, докажем, что он верно при $n=k+1$
$$\{I_s\:|\:s\in\overline{1,k+1}\}:[a,b]\subset\bigcup_{s=1}^{k+1}I_k\Rightarrow\exists{s}_0\in\overline{1,k+1}:a\in{I}_{s_0}:=(\alpha,\beta)\Rightarrow
\alpha<a<\beta$$
Если $b\leq\beta$, тогда $|I_{s_0}|=\beta-\alpha>b-a$, следовательно, $\sum_{s=1}^{k+1}|I_s|>b-a$.
Если $b>\beta$, то отрезок $[\beta,b]$ покрывается системой интервалов $\{I_s\:|\:s\in\overline{1,k+1}\wedge{s}\neq{s}_0\}$ мощности $k$.
Следовательно, по предположению индукции
$$\sum_{\substack{s=1\\s\neq{s}_0}}^{k+1}|I_k|>b-\beta\Rightarrow\sum_{s=1}^{k+1}|I_k|>|I_{s_0}|+b-\beta=\beta-\alpha+b-\beta=b-\alpha>b-a.$$
Таким образом доказано, что суммарная длина элементов любой конечной системы интервалов покрывающих отрезок больше длины этого отрезка.
Если система бесконечна, то суммарная длина ее интервалов больше чем суммарная длина интервалов любой ее конечной подсистемы, и так как по
принципу Бореля - Лебега существует конечная подсистема покрывающая отрезок, то по доказанному
длина это этой подсистемы будет больше длины отрезка, следовательно, больше длины отрезка будет и суммарная длина интервалов всей системы.
Пример 8.2.2: Мера Лебега множества $E_1:=[0,1]\cap(\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q})$ не может быть равной 0, так как по пункту 3
утверждения 8.2.3 множество $E_2:=[0,1]\cap\mathbb{Q}$ имеет меру Лебега 0. Так что если предположить, что мера Лебега множества $E_1$ равна нулю,
то по пункту 2 была бы равна нулю и мера Лебега множества $E_1\cup{E}_2=[0,1]$, что противоречит пункту 5 утверждение 8.2.12.
Определение 8.2.10: Будем говорить, что свойство $\mathcal{P}$ выполняется почти для всех точек множества
$E\subset\mathbb{R}$ (почти всюду на $E$), если мера Лебега множества, состоящего из точек для которых оно не выполняется, равна нулю.
Пример 8.2.3: Функция Дирихле $\mathcal{D}(x)=\begin{cases}0, & x\in\mathbb{Q}\\1, & x\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}\end{cases}$
почти всюду на $\mathbb{R}$ равна нулю.
Теорема 8.2.1: Критерий Лебега интегрируемости по Риману.
Функция $f(x):[a,b]\to\mathbb{R}$ интегрируема по Риману тогда, и только тогда, когда она ограничена на отрезке $[a,b]$ и непрерывна почти всюду на нем.
Доказательство: Будет доказано позже в более общем виде.
Пример 8.2.4: Функция Римана
$\mathcal{R}(x)=\begin{cases}\frac1{n}, & x=\frac{m}{n}\in\mathbb{Q},(m,n)=1\\0, & x\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}\end{cases}$ непрерывна почти всюду на
$\mathbb{R}$ (так как она непрерывна на $\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$), следовательно, она
интегрируема по Риману на любом числовом отрезке (интеграл равен 0).
$\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}$
Задача 8.2.1: Функции $f(x)=\mathcal{R}(x)$ и $g(x)=|\sgn{x}|$ интегрируемы по Риману на отрезке $[1,2]$. Будет ли интегрируема
по Риману на отрезке $[1,2]$ их композиция $g\circ{f}=|\sgn\mathcal{R}(x)|$?
Решение: Функция $|\sgn\mathcal{R}(x)|$ не будет интегрируемой по Риману на отрезке $[1,2]$ так как любой отрезок любого разбиения будет
содержать как рациональные, так и иррациональные точки. Так что верхняя грань множества значений функции $|\sgn\mathcal{R}(x)|$ на любом отрезке равна 1,
а нижняя 0, следовательно, верхняя грань нижних сумм Дарбу не может быть равна нижней грани верхних
сумм Дарбу.
При этом нет противоречия с пунктом 2 утверждения 8.2.12 так как $f([1,2])=[0,1]$, а функция
$|\sgn{x}|$ не является непрерывной на отрезке $[0,1]$, то есть условие 2 утверждения 8.2.12 не выполнено.
previous contents next