Определение 8.5.5: Пусть $\omega_1,\omega_2\in\overline{\mathbb{R}}$ и функция $f(x):(\omega_1,\omega_2)\to\mathbb{R}$
такая, что для любого отрезка $[a,b]\subset(\omega_1,\omega_2)$ $f(x)\in\mathcal{R}$, тогда несобственный интеграл
$\int\limits_{\omega_1}^{\omega_2}f(x)dx$ сходится тогда и только тогда, когда существует $c\in(\omega_1,\omega_2)$ такое, что сходятся оба несобственных
интеграла $\int\limits_{\omega_1}^cf(x)dx$ и $\int\limits_c^{\omega_2}f(x)dx$ при этом
$\int\limits_{\omega_1}^{\omega_2}f(x)dx:=\int\limits_{\omega_1}^cf(x)dx+\int\limits_c^{\omega_2}f(x)dx$.
Определение 8.5.5 корректно, так как если такое $c\in(\omega_1,\omega_2)$ не единственно, то в силу пункта 3 теоремы 8.5.1 значение несобственного интеграла $\int\limits_{\omega_1}^{\omega_2}f(x)dx$ не будет зависеть от выбора значения $c$.
Определение 8.5.6: Если функция $f(x):[a,b]\backslash\{\omega\}\to\mathbb{R}$ такая, что $\omega\in(a,b)$, для любых
$c\in[a,\omega)$, $d\in(\omega,b]$ $f(x)\in\mathcal{R}[a,c]$, $f(x)\in\mathcal{R}[d,b]$ и функция $f(x)$ не ограничена на любой окрестности точки $\omega$,
то несобственный интеграл $\int\limits_a^bf(x)dx$ считают сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла $\int\limits_a^\omega{f}(x)dx$ и
$\int\limits_\omega^bf(x)dx$ при этом $\int\limits_a^bf(x)dx:=\int\limits_a^\omega{f}(x)dx+\int\limits_\omega^bf(x)dx$.
В этом случае на первый взгляд особенность одна, что не соответствует теме раздела, но на самом деле их две: $\omega-0$ и $\omega+0$.
Пример 8.5.10: Исследуем сходимость несобственного интеграла $\displaystyle\int\limits_{-1}^1\frac{dx}{\sqrt{|x|}}$ на
множестве $[-1,1]\backslash\{0\}$.
По определению 8.5.6 имеем
$$\int\limits_{-1}^1\frac{dx}{\sqrt{|x|}}=\int\limits_{-1}^0\frac{dx}{\sqrt{-x}}+\int\limits_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}=-2\sqrt{-x}|_{-1}^0+2\sqrt{x}|_0^1=
2+2=4$$
Пример 8.5.11: Исследуем сходимость несобственного интеграла $\int\limits_{-1}^1\frac{dx}{x}$ на множестве
$[-1,1]\backslash\{0\}$.
По определению 8.5.6 имеем
$$\int\limits_{-1}^1\frac{dx}{x}=\int\limits_{-1}^0\frac{dx}{x}+\int\limits_0^1\frac{dx}{x}=\ln{|x|}|_{-1}^0+\ln{|x|}|_0^1$$
Таким образом интеграл расходится, так как не существует предела функции $\ln{x}$ при $x\to0$.
Пример 8.5.12: Исследуем сходимость несобственного интеграла от функции
$f(x)=\begin{cases}\ln{x}, & 0<x\leq1\\\frac1{x^2}, & -1\leq{x}<0\end{cases}$ на множестве $[-1,1]\backslash\{0\}$.
В соответствии с определением 8.5.6 данный интеграл расходится так как расходится несобственный интеграл от функции
$\displaystyle\frac1{x^2}$ на промежутке $[-1,0)$.
(При этом несобственный интеграл $\int\limits_0^1f(x)dx=\int\limits_0^1\ln{x}dx=(x\ln{x}-x)|_0^1=-1-\lim_{x\to0}(x\ln{x})=-1$ сходится, но в рамках
определения 8.5.6 это не имеет значения.)
Определение 8.5.7: Пусть функция $f(x)$ имеет на промежутке $\Delta(c,d)$ конечное число особенностей
$c=\omega_0<\omega_1<\dots<\omega_{s-1}<\omega_s=d$, тогда говорят, что несобственный интеграл $\int\limits_c^df(x)dx$ сходится,
если для любого $i\in\overline{1,s}$ существует $c_i\in(\omega_{i-1},\omega_i)$ такие, что интегралы $\int\limits_{\omega_{i-1}}^{c_i}f(x)dx$ и
$\int\limits_{c_i}^{\omega_i}f(x)dx$ сходятся. При этом
$\int\limits_c^df(x)dx:=\sum_{i=1}^s\left(\int\limits_{\omega_{i-1}}^{c_i}f(x)dx+\int\limits_{c_i}^{\omega_i}f(x)dx\right)$.
Задача 8.5.1: Исследовать сходимость несобственного интеграла
$\displaystyle\int\limits_0^{+\infty}\frac{dx}{x^2\sqrt[3]{x-2}\ln{x}}$.
Решение: Особенностями интеграла являются точки, в которых подынтегральная функция
стремится к бесконечности: $\omega_0=0$, $\omega_1=1$, $\omega_2=2$, $\omega_3=+\infty$. Положим
$$g(x):=x^2\ln{x}\sqrt[3]{x-2},\:f(x):=\frac1{g(x)}=\frac1{x^2\sqrt[3]{x-2}\ln{x}}$$
тогда
$$f'(x)=\left(\frac1{x^2\sqrt[3]{x-2}\ln{x}}\right)'=-\frac{g'(x)}{(g(x))^2}-\frac{(x^2\sqrt[3]{x-2}\ln{x})'}{(x^2\sqrt[3]{x-2}\ln{x})^2}$$
где
$$(x^2\ln{x})'=2x\ln{x}+x^2\frac1{x}=x(2\ln{x}+1)\Rightarrow{g}'(x)=x(2\ln{x}+1)\sqrt[3]{x-2}+x^2\ln{x}\frac1{3}\frac1{(\sqrt[3]{x-2})^2}=
\frac{3x(2\ln{x}+1)(x-2)+x^2\ln{x}}{3(\sqrt[3]{x-2})^2}$$
Как не сложно видеть функция в числителе $3x(2\ln{x}+1)(x-2)+x^2\ln{x}$ обращается в ноль
один раз на интервале $(0,1)$ и еще один на интервале $(1,2)$.
Обозначим эти точки $a$ и $b$. В точках $a$ и $b$ функция имеет локальные экстремумы. На интервале $(a,b)$ производная $f'(x)$ положительна,
следовательно, функция $f(x)$ возрастает на интервале $(a,b)$, во всех прочих положительных точках функция $f(x)$ убывает. В рамках
определения 8.5.7 положим $c_1:=a$, $c_2:=b$, $c_3:=3$, тогда
$$\int\limits_0^{+\infty}f(x)dx=\int\limits_0^{+\infty}\frac{dx}{x^2\sqrt[3]{x-2}\ln{x}}=
\int\limits_0^af(x)dx+\int\limits_a^1f(x)dx+\int\limits_1^bf(x)dx+\int\limits_b^2f(x)dx+\int\limits_2^3f(x)dx+\int\limits_3^{+\infty}f(x)dx$$
Исследуем сходимость каждого из шести интегралов.
Таким образом в сумме
$$\int\limits_0^{+\infty}\frac{dx}{x^2\sqrt[3]{x-2}\ln{x}}=\int\limits_0^af(x)dx+\int\limits_a^1f(x)dx+\int\limits_1^bf(x)dx+\int\limits_b^2f(x)dx+
\int\limits_2^3f(x)dx+\int\limits_3^{+\infty}f(x)dx$$
сходятся только три последних интеграла так что несобственный интеграл $\displaystyle\int\limits_0^{+\infty}\frac{dx}{x^2\sqrt[3]{x-2}\ln{x}}$
расходится в смысле определения 8.5.7. Сходящимся можно считать только интеграл
$\displaystyle\int\limits_b^{+\infty}\frac{dx}{x^2\sqrt[3]{x-2}\ln{x}}$.
Так как функция $f(x)$ непрерывна, убывает и положительна на интервале $(0,a)$, то
$$\int\limits_{\frac1{n+1}}^{\frac1{n}}f(x)dx\geq\left(\frac1{n}-\frac1{n+1}\right)f\left(\frac1{n}\right)=
\frac1{n(n+1)}\frac1{\left(\frac1{n}\right)^2\sqrt[3]{\frac1{n}-2}\ln\frac1{n}}=\frac1{n(n+1)}\frac{n^{7/3}}{-\sqrt[3]{1-2n}\ln{n}}=
\frac1{n+1}\frac{n^{4/3}}{\sqrt[3]{2n-1}\ln{n}}\sim\frac1{\ln{n}},n\to\infty$$
Так как ряды $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ и $\sum_{n=1}^\infty\frac1{\ln{n}}$ положительны, и ряд $\sum_{n=1}^\infty\frac1{\ln{n}}$ расходится,
то ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ тоже расходится. Так как последовательность $\left\{\frac1{n}\right\}$
стремится к нулю, следовательно, несобственный интеграл $\int\limits_0^af(x)dx$ заданный на промежутке
$(0,a]$ расходится. Из чего можно сразу сделать вывод, что в смысле определения 8.5.7 расходится и исходный интеграл
$\int\limits_0^{+\infty}f(x)dx$.
Так как функция $f(x)$ непрерывна, возрастает и положительна на интервале $(a,1)$, то
$$a_n=\int\limits_{\frac{n}{n+1}}^{\frac{n+1}{n+2}}f(x)dx\geq\left(\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}\right)f\left(\frac{n}{n+1}\right)=
\frac1{(n+1)(n+2)}\frac1{\left(\frac{n}{n+1}\right)^2\ln\frac{n}{n+1}}\sqrt[3]{\frac{n}{n+1}-2}\sim\frac1{(n+1)(n+1)}\frac1{\ln\frac{n}{n+1}},n\to\infty$$
$$\ln\frac{n}{n+1}=\ln\left(1-\frac1{n+1}\right)\sim\frac1{n},n\to\infty\Rightarrow\frac1{(n+2)(n+1)}\frac1{\ln\frac{n}{n+1}}\sim\frac1{n},n\to\infty$$
Так как ряд $\sum_{n=1}^\infty\frac1{n}$ расходится, то аналогично пункту 1 расходится и несобственный интеграл $\int\limits_a^1f(x)dx$ по промежутку
$[a,1)$.
Все предложенные выше модели имеют один существенный недостаток: каждый из несобственных интегралов составляющих сумму рассматривается независимо от других, что не всегда может быть полезно для применения на практике. Рассмотрим модель не имеющую указанного недостатка.
Определение 8.5.8: Определение несобственного интеграла в смысле главного значения.
Пусть функция $f(x):[a,b]\backslash\{c\}\to\mathbb{R}$ такая, что для любого
$[\alpha,\beta]\subset[a,b]\backslash\{c\}$ $f(x)\in\mathcal{R}[\alpha,\beta]$, тогда говорят, что существует интеграл в смысле главного значения функция
$f(x)$ по отрезку $[a,b]$ если существует предел
$\displaystyle\lim_{\varepsilon\to0+}\left(\int\limits_a^{c-\varepsilon}f(x)dx+\int\limits_{c+\varepsilon}^bf(x)dx\right)$.
В этом случае значение несобственного интеграла помечают аббревиатурой V. P. (valuer principal - главное значение фр.), то есть
$$V.P.\int\limits_a^bf(x)dx:=\lim_{\varepsilon\to0+}\left(\int\limits_a^{c-\varepsilon}f(x)dx+\int\limits_{c+\varepsilon}^bf(x)dx\right)$$
Из существования несобственного интеграла от функции, не ограниченной в окрестности внутренней точки отрезка интегрирования, в смысле определения 8.5.6 следует существование несобственного интеграла в смысле главного значения, так как $$\left(\exists\int\limits_a^cf(x)dx\wedge\exists\int\limits_c^bf(x)dx\right)\Rightarrow \left(\exists\lim_{x\to{c}-}\int\limits_a^xf(t)dt\wedge\exists\lim_{x\to{c}+}\int\limits_c^bf(t)dt\right)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\exists\lim_{\varepsilon\to0+}\left(\int\limits_a^{c-\varepsilon}f(x)dx+\int\limits_{c+\varepsilon}^bf(x)dx\right)= V.P.\int\limits_a^bf(x)dx= \lim_{x\to{c}-}\int\limits_a^xf(t)dt+\lim_{x\to{c}+}\int\limits_x^bf(t)dt=\int\limits_a^cf(x)dx+\int\limits_c^bf(x)dx$$
Обратное верно не всегда. Из существования несобственного интеграла в смысле главного значения не следует существования левого и правого интегралов.
Пример 8.5.13: Несобственного интеграла от функции $\frac1{x}$ по отрезку $[-1,1]$ не существует,
так как не сходятся несобственные интегралы от функции $\frac1{x}$ по промежуткам $[-1,0)$, $(0,1]$,
однако интеграл в смысле главного значения существует
$$V.P.\int\limits_{-1}^1\frac{dx}{x}=\lim_{\varepsilon\to0}\left(\int\limits_{-1}^{-\varepsilon}\frac{dx}{x}+\int\limits_{\varepsilon}^1\frac{dx}{x}\right)=
\lim_{\varepsilon\to0}\left(\ln{|x|}|_{-1}^{-\varepsilon}+\ln{|x|}|_{\varepsilon}^1\right)=
\lim_{\varepsilon\to0}(\ln{\varepsilon}-\ln{1}+\ln{1}-\ln{\varepsilon})=0$$
Определение 8.5.9: Пусть функция $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ такая, что для любых $a,b\in\mathbb{R}$
$f(x)\in\mathcal{R}[a,b]$, тогда интегралом в смысле главного значения от функции $f(x)$ по промежутку $(-\infty,+\infty)$ называют предел
$$V.P.\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx:=\lim_{R\to\infty}\int\limits_{-R}^Rf(x)dx$$
Пример 8.5.14: $$V.P.\int\limits_{-\infty}^{+\infty}xdx=\lim_{R\to\infty}\int\limits_{-R}^Rxdx=\lim_{R\to\infty}\left(\left.\frac{x^2}{2}\right|_{-R}^R\right)= \lim_{R\to\infty}\left(\frac{R^2}{2}-\frac{R^2}{2}\right)=0$$
Как пример приложения определенного интеграла Римана приведем доказательство формулы Валлиса.
Утверждение 8.6.1: $$\frac{\pi}{2}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{2n+1}\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2\right)$$
Доказательство: Для любого $n\in\mathbb{N}$ обозначим $I_n:=\int\limits_0^{\pi/2}\sin^n{x}dx$, таким образом
$I_0:=\int\limits_0^{\pi/2}dx=\frac{\pi}{2}$, $I_1:=\int\limits_0^{\pi/2}\sin{x}dx=1$ и
$$\forall{n}\in\mathbb{N}_0\left(I_{n+2}=\int\limits_0^{\pi/2}\sin^nxdx=-\int\limits_0^{\pi/2}\sin^{n+1}xd(\cos{x})=
-(\sin^{n+1}x\cos{x})|_0^{\pi/2}+(n+1)\int\limits_0^{\pi/2}\sin^nx\cos^2xdx=(n+1)\int\limits_0^{\pi/2}\sin^nx(1-\sin^2x)dx=
(n+1)(I_n-I_{n+2})\right)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow(n+2)I_{n+2}=(n+1)I_n\Rightarrow{I}_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}I_n$$
Докажем индукцией по $n$, что $I_{2n}=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi}{2}$.
При $n=1$ $I_{2n}=I_2=\frac1{2}I_0=\frac{1!!}{2!!}\frac{\pi}{2}$.
Пусть утверждение верно для $n=k$, докажем, что оно верно для $n=k+1$.
$$I_{2(k+1)}=I_{2k+2}=\frac{2k+1}{2k+2}I_{2k}=\frac{2k+1}{2k+2}\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}\frac{\pi}{2}=\frac{(2(2k+1)-1)!!}{(2(k+1))!!}\frac{\pi}{2}$$
Аналогично доказывается, что $I_{2n+1}=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}I_1=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$
С другой стороны
$$\forall{x}\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right](0\leq\sin{x}\leq1)\Rightarrow
\forall{x}\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right],\forall{n}\in\mathbb{N}(\sin^{2n+1}x\leq\sin^{2n}x\leq\sin^{2n-1}x)\Rightarrow
{I}_{2n+1}\leq{I}_{2n}\leq{I}_{2n-1},$$
следовательно,
$$\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\leq\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi}{2}\leq\frac{(2n-2)!!}{(2n-1)!!}\Rightarrow
\frac1{2n+1}\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2\leq\frac{\pi}{2}\leq\frac1{2n}\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2.$$
Обозначим
$$\alpha_n:=\frac1{2n+1}\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2,\beta_n:=\frac1{2n}\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2$$
тогда
$$\frac{\alpha_{n+1}}{\alpha_n}=
\frac1{2n+3}\left(\frac{(2n)!!(2n+2)}{(2n-1)!!(2n+1)}\right)^2:\left(\frac1{2n+1}\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2\right)=
\frac{2n+1}{2n+3}\left(\frac{2n+2}{2n+1}\right)^2=\frac{(2n+2)^2}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{4n^2+8n+4}{4n^2+8n+3}>1$$
Таким образом последовательность $\{\alpha_n\}$ возрастает и ограничена сверху, а, следовательно,
существует конечный предел $\displaystyle{A}:=\lim_{n\to\infty}\alpha_n$, тогда
$$\beta_n-\alpha_n=\frac1{2n}\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2-\frac1{2n+1}\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2=
\frac1{2n}\frac1{2n+1}\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2\leq\frac1{2n}\frac{\pi}{2}=o(1),n\to\infty\Rightarrow$$
$$\Rightarrow\exists\lim_{n\to\infty}\beta_n=\lim_{n\to\infty}\alpha_n=A\Rightarrow{A}\leq\frac{\pi}{2}\leq{A}\Rightarrow
\frac{\pi}{2}=A=\lim_{n\to\infty}\alpha_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{2n+1}\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2\right)$$
previous contents next