8.5.3 Абсолютная сходимость несобственных интегралов.

Определение 8.5.3: Пусть функция $f(x):[a,\omega)\to\mathbb{R}$ такая, что для любого $b\in[a,\omega)$ $f(x)\in\mathcal{R}[a,b]$, тогда говорят, что несобственный интеграл $\int\limits_a^\omega{f}(x)dx$ сходится абсолютно, если сходится несобственный интеграл $\int\limits_a^\omega|f(x)|dx$.

Следствие 8.5.4: Если функция $f(x):[a,\omega)\to\mathbb{R}$ такая, что для любого $b\in[a,\omega)$ $f(x)\in\mathcal{R}[a,b]$, тогда если несобственный интеграл $\int\limits_a^\omega{f}(x)dx$ сходится абсолютно, то он сходится.

Доказательство: Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда по абсолютной сходимости несобственного интеграла $\int\limits_a^\omega{f}(x)dx$ имеем $$\exists{B}<\omega:\forall{b}',b''\in(B,\omega)\left(\left|\int\limits_{b'}^{b''}f(x)dx\right|\leq \left|\int\limits_{b'}^{b''}|f(x)|dx\right|<\varepsilon\right)$$

Исследование абсолютной сходимости сводится к исследованию сходимости интеграла от неотрицательной функции.

Теорема 8.5.2: Пусть функции $f(x),g(x):[a,\omega)\to\mathbb{R}$ такие, что для любого $b\in[a,\omega)$ $f(b)\geq0$, $g(b)\geq0$, $f(x),g(x)\in\mathcal{R}[a,b]$, тогда

1. если для любого $x\in[a,\omega)$ $f(x)\leq{g}(x)$, то из сходимости несобственного интеграла $\int\limits_a^\omega{g}(x)dx$ следует сходимость несобственного интеграла $\int\limits_a^\omega{f}(x)dx$;
2. если $f=O(g)$ при $x\to\omega-0$, то из сходимости несобственного интеграла $\int\limits_a^\omega{g}(x)dx$ следует сходимость несобственного интеграла $\int\limits_a^\omega{f}(x)dx$,
   если $f=O^*(g)$ при $x\to\omega-0$, то несобственный интеграл $\int\limits_a^\omega{g}(x)dx$ сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл $\int\limits_a^\omega{f}(x)dx$;
3. если $\omega\in\mathbb{R}$ и $\displaystyle{f}=O^*\left(\frac1{(\omega-x)^p}\right)$ при $x\to\omega-0$, тогда несобственный интеграл $\int\limits_a^\omega{f}(x)dx$ сходится при $p<1$ и расходится в противном случае,
   если $\omega=+\infty$ и $\displaystyle{f}=O^*\left(\frac1{x^p}\right)$ при $x\to\omega-0$, тогда несобственный интеграл $\int\limits_a^\omega{f}(x)dx$ сходится при $p>1$ и расходится в противном случае.

Доказательство: Фиксируем неубывающую последовательность $\{b_n\}$ из $[a,\omega)$ сходящуюся к $\omega$ и определим ряды $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$, $\sum_{n=1}^\infty{c}_n$ следующим образом: $$a_1:=\int\limits_a^{b_1}f(x)dx,\:c_1:=\int\limits_a^{b_1}g(x)dx,\forall{n}>1\left(a_n:=\int\limits_{b_{n-1}}^{b_n}f(x)dx\wedge {c}_n:=\int\limits_{b_{n-1}}^{b_n}g(x)dx\right)$$ Так как последовательность $\{b_n\}$ возрастает и функции $f(x),g(x)$ положительны, то ряды $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$, $\sum_{n=1}^\infty{c}_n$ знакопостоянны.

1. По утверждению 8.5.2 если несобственный интеграл сходится, то сходится ряд $\sum_{n=1}^\infty{c}_n$ и так как $$\forall{x}\in[a,\omega)(f(x)\leq{g}(x))\Rightarrow \forall{n}\in\mathbb{N}\left(a_n=\int\limits_{b_{n-1}}^{b_n}f(x)dx\leq\int\limits_{b_{n-1}}^{b_n}g(x)dx=c_n\right)$$ то ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ тоже сходится значит по утверждению 8.5.2 сходится несобственный интеграл $\int\limits_a^\omega{f}(x)dx$.
2. Так как $f=O(g)$ при $x\to\omega-0$, то из положительности функций $f(x),g(x)$ следует $$\exists\beta(x):[a,\omega)\to\mathbb{R}:(f(x)=\beta(x)g(x)\wedge\exists{K}\in\mathbb{R},x_0\in[a,\omega): \forall{x}\in[x_0,\omega)(|\beta(x)|\leq{K})\Rightarrow\exists{K}\in\mathbb{R},x_0\in[a,\omega):\forall{x}\in[x_0,\omega)(f(x)\leq{K}g(x))$$ Тогда так как несобственный интеграл $\int\limits_a^\omega{g}(x)dx$ сходится, то сходится и несобственный интеграл $\int\limits_a^\omega{K}g(x)dx$, следовательно, по пункту 1 сходится и несобственный интеграл $\int\limits_a^\omega{f}(x)dx$.
   Если $f=O^*(g)$ при $x\to\omega-0$, то $f=O(g)$ и $g=O(f)$ при $x\to\omega-0$, следовательно, по доказанному несобственный интеграл сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл $\int\limits_a^\omega{g}(x)dx$.
3. Пусть $\omega\in\mathbb{R}$, тогда $$\int\limits_a^\omega\frac{dx}{(\omega-x)^p}=\lim_{x\to\omega-0}\int\limits_a^x\frac{dt}{(\omega-t)^p}= \lim_{x\to\omega-0}\begin{cases}\frac{(\omega-x)^{1-p}-(\omega-a)^{1-p}}{p-1}, & p\neq1\\\ln\frac{\omega-x}{a}, & p=1\end{cases}= \begin{cases} \frac{(\omega-a)^{1-p}}{1-p}, & p<1\\ +\infty, & p>0\\ -\infty, & p=1 \end{cases} $$ То есть несобственный интеграл $\displaystyle\int\limits_a^\omega\frac{dx}{(\omega-x)^p}$ сходится при $p<1$ и расходится в противном случае, следовательно, по пункту 2 для любой функции $f(x)$ такой, что $\displaystyle{f}=O^*\left(\frac1{(\omega-x)^p}\right)$ несобственный интеграл $\int\limits_a^\omega{f}(x)dx$ сходится если $p<1$ и расходится в противном случае.
   Пусть $\omega=+\infty$, тогда $$\int\limits_a^{+\infty}\frac{dx}{x^p}=\lim_{x\to+\infty}\int\limits_a^x\frac{dt}{t^p}= \lim_{x\to+\infty}\begin{cases}\frac{a^{1-p}-x^{1-p}}{p-1}, & p\neq1\\\ln\frac{x}{a}, & p=1\end{cases}= \begin{cases} -\infty, & p<1\\ \frac{a^{1-p}}{p-1}, & p>1\\ +\infty, & p=1 \end{cases} $$ Аналогично случаю $\omega\in\mathbb{R}$ из пункта 2 следует, что для любой функции $f(x)$ такой, что $\displaystyle{f}=O^*\left(\frac1{x^p}\right)$ несобственный интеграл сходится при $p>1$ и расходится в противном случае.

Пример 8.5.3: Исследуем сходимость несобственного интеграла $\displaystyle\int\limits_1^{+\infty}\frac{\sqrt{x}dx}{x^4+1}$.
Так как $$f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x^4+1}=\frac{\sqrt{x}}{x^4(1+o(1))}=O^*\left(\frac1{x^{7/2}}\right),\:x\to+\infty$$ и $\frac{7}{2}>1$, то интеграл сходится по пункту 3 теоремы 8.5.2.

Пример 8.5.4: Исследуем сходимость несобственного интеграла $\displaystyle\int\limits_{\pi/2}^{+\infty}\frac{\cos{x}}{x^2}dx$.
Так как $|\frac{\cos{x}}{x^2}|\leq\frac1{x^2}$ и ряд $\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}$ сходится то сходится несобственный интеграл $\int\limits_{\pi/2}^{+\infty}\frac{dx}{x^2}$, следовательно, несобственный интеграл $\int\limits_{\pi/2}^{+\infty}\frac{\cos{x}}{x^2}dx$ сходится абсолютно.

Пример 8.5.5: Исследуем сходимость несобственного интеграла $\displaystyle\int\limits_1^{+\infty}e^{-x^2}dx$.
Так как для любого $x\in[a,\omega)$ $\displaystyle{e}^{-x^2}\leq{e}^{-x}$ и несобственный интеграл $$\int\limits_1^{+\infty}e^{-x}dx=-e^{-x}|_1^{+\infty}=-\lim_{x\to+\infty}e^{-x}+\frac1{e}=\frac1{e}$$ сходится, следовательно, по пункту 1 теоремы 8.5.2 сходится и несобственный интеграл $\displaystyle\int\limits_1^{+\infty}e^{-x^2}\,dx$

Пример 8.5.6: Исследуем сходимость несобственного интеграла $\displaystyle\int\limits_2^{+\infty}\frac{dx}{\ln{x}}$.
Так как для любого $x\in[a,\omega)$ $\frac1{\ln{x}}\geq\frac1{x}$ и несобственный интеграл $\int\limits_2^{+\infty}\frac{dx}{x}$ расходится по пункту 3 теоремы 8.5.2 то по пункту 1 той же теоремы расходится и несобственный интеграл $\int\limits_2^{+\infty}\frac{dx}{\ln{x}}$.

Пример 8.5.7: Исследуем сходимость несобственного интеграла $\displaystyle\int\limits_0^{\pi/2}\ln(\sin{x})dx$.
Так как $f(x)=\ln(\sin{x})=\ln(x+o(1))=O^*(\ln{x})$ при $x\to+\infty$, то сходимость несобственного интеграла $\int\limits_0^{\pi/2}\ln(\sin{x})dx$ сводится к сходимости несобственного интеграла $\int\limits_0^{\pi/2}\ln{x}dx$. Из примера 5.4.9 следует $$\forall\alpha>0\left(\lim_{x\to0+}x^\alpha\ln{x}=0\right)\Rightarrow\forall\alpha>0(x^\alpha=o(1),x\to0+)\Rightarrow \forall\alpha>0(x^\alpha\ln{x}=O(1),x\to0+)\Rightarrow\forall\alpha>0\left(\ln{x}=O\left(\frac1{x^\alpha}\right),x\to0+\right)$$ Так как для любого $\alpha\in(0,1)$ несобственный интеграл $\displaystyle\int\limits_0^{\pi/2}\frac{dx}{x^\alpha}$ по промежутку $(0,\frac{\pi}{2}]$ сходится, следовательно, то пункту 2 теоремы 8.5.2 сходится и несобственный интеграл $\int\limits_0^{\pi/2}\ln{x}dx$

Определение 8.5.4: Пусть функция $f(x):[a,\omega)\to\mathbb{R}$ такая, что для любого $b\in[a,\omega)$ $f(x)\in\mathcal{R}[a,b]$, тогда говорят, что несобственный интеграл $\int\limits_a^\omega{f}(x)dx$ сходится не абсолютно, если он сходится и расходится несобственный интеграл $\int\limits_a^\omega|f(x)|dx$.

Пример 8.5.8: Исследуем сходимость несобственного интеграла $\displaystyle\int\limits_{\pi/2}^{+\infty}\frac{\sin{x}}{x}dx$.
Воспользуемся формулой интегрирования по частям $$\forall{b}\in\left[\frac{\pi}{2},+\infty\right)\left(\int\limits_{\pi/2}^b\frac{\sin{x}}{x}dx= \left.\frac{-\cos{x}}{x}\right|_{\pi/2}^{b}-\int\limits_{\pi/2}^b\frac{\cos{x}}{x^2}dx= -\frac{\cos{b}}{b}-\int\limits_{\pi/2}^b\frac{\cos{x}}{x^2}dx\right)$$ Так как $\displaystyle\lim_{b\to\infty}\frac{\cos{b}}{b}=0$ и не собственный интеграл $\displaystyle\int\limits_{\pi/2}^{+\infty}\frac{\cos{x}}{x^2}dx$ сходится по примеру 8.5.4, то сходится и несобственный интеграл $\int\limits_{\pi/2}^{+\infty}\frac{\sin{x}}{x}dx$. Докажем, что он сходится не абсолютно. $$\forall{x}\in\left[\frac{\pi}{2},+\infty\right)\left(\left|\frac{\sin{x}}{x}\right|\geq\frac{\sin^2x}{x}=\frac{1-\cos(2x)}{2x}= \frac1{2x}-\frac{\cos(2x)}{2x}\right)$$ $$\forall{b}\in\left[\frac{\pi}{2},+\infty\right)\left(\int\limits_{\pi/2}^b\frac{\cos(2x)}{2x}dx= \left.\frac{2\sin(2x)}{2x}\right|_{\pi/2}^{b}+\int\limits_{\pi/2}^b\frac{2\sin(2x)}{2x^2}dx= \frac{\sin(2b)}{b}+\int\limits_{\pi/2}^{b}\frac{\sin(2x)}{x^2}dx\right)$$ Так как $\displaystyle\lim_{b\to\infty}\frac{\sin(2b)}{b}=0$ и несобственный интеграл $\displaystyle\int\limits_{\pi/2}^b\frac{\sin(2x)}{x^2}dx$ сходится (доказывается аналогично сходимости несобственного интеграла $\displaystyle\int\limits_{\pi/2}^{+\infty}\frac{\cos(2x)}{x^2}dx$), то сходится и несобственный интеграл $\displaystyle\int\limits_{\pi/2}^{+\infty}\frac{\cos(2x)}{2x}dx$. В свою очередь несобственный интеграл $\displaystyle\int\limits_{\pi/2}^{+\infty}\frac{dx}{2x}$ расходится, а значит расходится и несобственный интеграл $\displaystyle\int\limits_{\pi/2}^{+\infty}\frac{1-\cos(2x)}{2x}dx$, и тогда по пункту 1 теоремы 8.5.2 расходится и несобственный интеграл $\int\limits_{\pi/2}^{+\infty}\left|\frac{\sin{x}}{x}\right|dx$

Утверждение 8.5.3: Признак Абеля и Дирихле сходимости несобственных интегралов.
Пусть функции $f(x),g(x):[a,\omega)\to\mathbb{R}$ такие, что для любого $b\in[a,\omega)$ $f(x),g(x)\in\mathbb{R}[a,b]$, тогда несобственный интеграл $\int\limits_a^\omega{f}(x)g(x)dx$ сходится если выполнено одно из условий:

1. Признак Абеля: несобственный интеграл $\int\limits_a^\omega{f}(x)dx$ сходится и функция $g(x)$ ограничена и монотонна.
2. Признак Дирихле: функция $F(x):=\int\limits_a^xf(t)dt$ ограничена, функция $g(x)$ монотонна и существует предел $\displaystyle\lim_{x\to\omega-0}g(x)=0$.

Доказательство: Используем критерий Коши сходимости несобственного интеграла и формулу Бонне. Так как в обоих случаях функция $f(x)$ монотонна, то вторую теорему о среднем можно применять, то есть $$\forall{b}',b''\in[a,\omega)\left(\exists\xi\in[b',b'']:\int\limits_{b'}^{b''}f(x)g(x)dx= g(b')\int\limits_{b'}^\xi{f}(x)dx+g(b'')\int\limits_\xi^{b''}f(x)dx\right)\quad(1)$$

1. Фиксируем $\varepsilon>0$. Функция $g(x)$ ограничена, следовательно, существует $\displaystyle{M}:=\sup_{x\in[a,\omega)}|g(x)|$. Так как несобственный интеграл $\int\limits_a^\omega{f}(x)dx$ сходится, то по критерию Коши $$\exists{B}=B(\varepsilon)\in[a,\omega): \forall{b}',b''\in(B,\omega)\left(\left|\int\limits_{b'}^{b''}f(x)dx\right|<\frac{\varepsilon}{2M}\right)\Rightarrow^{(1)}$$ $$\Rightarrow\forall{b}',b''\in(B,\omega)\left(\exists\xi\in[b',b'']:\left|\int\limits_{b'}^{b''}f(x)g(x)dx\right|\leq \left|\int\limits_{b'}^\xi{f}(x)g(x)dx\right|+\left|\int\limits_\xi^{b''}f(x)g(x)dx\right|\leq M\left|\int\limits_{b'}^\xi{f}(x)dx\right|+M\left|\int\limits_\xi^{b''}f(x)dx\right|<M\frac{\varepsilon}{2M}+M\frac{\varepsilon}{2M}=\varepsilon\right)$$
2. Функция $F(x)$ ограничена, следовательно, существует $\displaystyle{M}:=\sup_{x\in[a,\omega)}|F(x)|$. Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда по определению левостороннего предела функции $$\lim_{x\to\omega-0}g(x)=0\Rightarrow\exists{B}=B(\varepsilon)\in[a,\omega):\forall{b}\in[B,\omega)\left(g(b)<\frac{\varepsilon}{4M}\right),$$ по ограниченности функции $F(x)$ $$\forall{b}',b''\in(B,\omega),\forall\xi\in[b',b'']\left(\left|\int\limits_{b'}^\xi{f}(x)dx\right|=|F(\xi)-F(b')|\leq|F(\xi)|+|F(b')|\leq2M\right)$$ и аналогично $\left|\int\limits_\xi^{b''}f(x)dx\right|\leq2M$, тогда из равенства (1) следует $$\forall{b}',b''\in(B,\omega)\left(\exists\xi\in[b',b'']:\left|\int\limits_{b'}^{b''}f(x)g(x)dx\right|\leq \left|g(b')\int\limits_{b'}^\xi{f}(x)dx\right|+\left|g(b'')\int\limits_\xi^{b''}f(x)dx\right|\leq \frac{\varepsilon}{4M}\left|\int\limits_{b'}^\xi{f}(x)dx\right|+\frac{\varepsilon}{4M}\left|\int\limits_\xi^{b''}f(x)dx\right|< \frac{\varepsilon}{4M}2M+\frac{\varepsilon}{4M}2M=\varepsilon\right)$$

Пример 8.5.9: Исследуем сходимость несобственного интеграла $\displaystyle\int\limits_1^{+\infty}\frac{\sin{x}}{x^\alpha}dx$ при любом $\alpha\in\mathbb{R}$.

1. При $\alpha>1$ сходится абсолютно, так как по мажорантному признаку Вейерштрасса сходится абсолютно ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{x^\alpha}$.
2. При $0<\alpha\leq1$ сходится по признаку Дирихле при $f(x):=\sin{x}$, $\displaystyle{g}(x):=\frac1{x^\alpha}$. Так как в этом случае функция $F(x)=\int\limits_1^x\sin{t}dt=-\cos{t}|_1^{x}=-\cos{x}+\cos{1}$ ограничена, а функция $g(x)$ монотонно стремится к нулю.
   Сходится не абсолютно, так как по примеру 8.5.8 не сходится абсолютно ряд $\int\limits_{\pi/2}^{+\infty}\frac{\sin{x}}{x}dx$.
3. При $\alpha\leq0$ расходится так как для последовательности $b_n:=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi{n}}{2}$ ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\int\limits_{b_{n-1}}^{b_n}\frac{\sin{x}}{x^\alpha}dx$ расходится, поскольку его общий член не стремится к нулю. Действительно, для любого нечетного $n$ минимум функции $|x^{-\alpha}\sin{x}|$ на отрезке $[b_n,b_{n+1}]$ при $\alpha\leq0$ равен $b_n^{-\alpha}\frac{\sqrt2}{2}$, следовательно, значение общего члена ряда $\displaystyle\int\limits_{b_n}^{b_{n-1}}x^{-\alpha}\sin{x}dx$ не может быть меньше $\frac{\pi}{2}\left(\frac{\pi{n}}{2}\right)^{-\alpha}\frac{\sqrt2}{2}$, поэтому значение общегочлена ряда не стремится к нулю при $n\to\infty$ и при $\alpha\leq0$.