8.5 Несобственный интеграл Римана.

8.5.1 Основные определения и простейшие свойства.

Везде ранее при рассмотрении определенного интеграла Римана речь шла о собственном интеграле. Собственный интеграл Римана берется от функции заданной и ограниченной на отрезке. С точки зрения прикладных аспектов, ясно, что не всегда выполняются эти условия, например функция может быть задана на бесконечном промежутке $\displaystyle\frac1{x^2}:[1,\infty)\to\mathbb{R}$, или функция может быть не ограничена на области определения $f(x):[0,1]\to\mathbb{R}$, где $f(0)=0$, а при $x<0$ $\displaystyle{f}(x)=\frac1{x^2}$.

Определение 8.5.1.1: Пусть функция $f(x):[a,+\infty)\to\mathbb{R}$ интегрируема по Риману на отрезке $[a,b]$ для любого $b\leq{a}$ и существует конечный предел $\displaystyle\int\limits_a^{+\infty}f(x)dx:=\lim_{b\to+\infty}\int\limits_a^bf(x)dx$, тогда говорят, что функция $f(x)$ интегрируема в несобственном смысле по промежутку $[a,+\infty)$. В этом случае величина $\int\limits_a^{+\infty}f(x)dx\in\mathbb{R}$ называется значением несобственного интеграла Римана от функции $f(x)$ по промежутку $[a,+\infty)$.
Выражение $\int\limits_a^{+\infty}f(x)dx$ называют так же несобственным интегралом Римана от функции $f(x)$ по промежутку $[a,+\infty)$. Говорят, что интеграл $\int\limits_a^{+\infty}f(x)dx$ сходится, если он определен и расходится, если не определен.

Определение 8.5.2.1: Пусть функция $f(x):(-\infty,b]\in\mathbb{R}$ интегрируема по Риману на отрезке $[a,b]$ для любого $a\leq{b}$ и существует конечный предел $\displaystyle\int\limits_{-\infty}^bf(x)dx:=\lim_{a\to-\infty}\int\limits_a^bf(x)dx$, тогда говорят, что функция $f(x)$ интегрируема в несобственном смысле по промежутку $(-\infty,b]$. В этом случае величина $\int\limits_{-\infty}^bf(x)dx\in\mathbb{R}$ называется значением несобственного интеграла Римана от функции $f(x)$ по промежутку $(-\infty,b]$.
Выражение $\int\limits_{-\infty}^bf(x)dx$ называют так же несобственным интегралом Римана от функции $f(x)$ по промежутку $(-\infty,b]$. Говорят, что интеграл $\int\limits_{-\infty}^bf(x)dx$ сходится, если он определен и расходится, если не определен.

Определение 8.5.1.2: Пусть $B\in\mathbb{R}$ и функция $f(x):[a,B)\to\mathbb{R}$ интегрируема по Риману на отрезке $[a,b]$ при любом $b\in[a,B)$ и существует конечный предел $\displaystyle\int\limits_a^Bf(x)dx:=\lim_{b\to{B}-0}\int\limits_a^bf(x)dx$, тогда говорят, что функция $f(x)$ интегрируема по Риману в несобственном смысле по промежутку $[a,B)$. В этом случае величина $\int\limits_a^Bf(x)dx\in\mathbb{R}$ называется значением несобственного интеграла Римана от функции $f(x)$ по промежутку $[a,B)$.
Аналогично определениям 8.5.1.1, 8.5.2.1 вводится понятие сходимости интеграла вида $\int\limits_a^Bf(x)dx$.

Определение 8.5.2.2: Аналогично определению 8.5.1.2 вводится понятие несобственного интеграла по промежутку $(A,b]$ открытому слева: $\displaystyle\int\limits_A^bf(x)dx:=\lim_{a\to{A}+0}\int\limits_a^bf(x)dx$.

Пример 8.5.1: Рассмотрим несобственный интеграл $\displaystyle\int\limits_1^{+\infty}\frac{dx}{x^{\alpha}}$.
$$\int\limits_1^{+\infty}\frac{dx}{x^\alpha}:=\lim_{b\to+\infty}\int\limits_1^b\frac{dx}{x^\alpha}= \lim_{b\to+\infty}\begin{cases}\left.\frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha}\right|_1^b, & \alpha\neq1\\\ln{x}|_1^b, & \alpha=1\end{cases}= \lim_{b\to+\infty}\begin{cases}\frac{b^{1-\alpha}-1}{1-\alpha}, & \alpha\neq1\\\ln{b}, & \alpha=1\end{cases}= \begin{cases} \frac1{\alpha-1}, & \alpha>1\\ +\infty, & \alpha<1\\ +\infty, & \alpha=1 \end{cases}$$ Таким образом несобственный интеграл $\displaystyle\int\limits_1^{+\infty}\frac{dx}{x^\alpha}$ сходится тогда и только тогда, когда $\alpha>1$ при этом $\displaystyle\int\limits_1^{+\infty}\frac{dx}{x^\alpha}=\frac1{\alpha-1}$.

Пример 8.5.2: Рассмотрим несобственный интеграл $\displaystyle\int\limits_0^1\frac{dx}{x^\alpha}$ на открытом слева промежутке $(0,1]$.
Функция $\displaystyle\frac1{x^\alpha}$ не определена в точке 0, поэтому интеграл $\displaystyle\int\limits_0^1\frac{dx}{x^\alpha}$ можно рассматривать только в несобственном смысле. Тогда $$\int\limits_0^1\frac{dx}{x^\alpha}:=\lim_{a\to0+}\int\limits_a^1\frac{dx}{x^\alpha}= \lim_{a\to0+}\begin{cases}\left.\frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha}\right|_a^1, & \alpha\neq1\\\ln{x}|_a^1, & \alpha=1\end{cases}= \lim_{a\to0+}\begin{cases}\frac{1-a^{1-\alpha}}{1-\alpha}, & \alpha\neq1\\-\ln{a}, & \alpha=1\end{cases}= \begin{cases} +\infty, & \alpha>1\\ \frac1{1-\alpha}, & \alpha<1\\ +\infty, & \alpha=1 \end{cases}$$ Таким образом несобственный интеграл $\displaystyle\int\limits_0^1\frac{dx}{x^\alpha}$ сходится тогда и только тогда, когда $\alpha<1$ при этом $\displaystyle\int\limits_0^1\frac{dx}{x^\alpha}=\frac1{1-\alpha}$

Определения 8.5.1.1 и 8.5.1.2 можно объединить если допустить, что $B\in\overline{\mathbb{R}}$ и при $B=+\infty$ выражение "$a\to{B}-0$" означает "$a\to+\infty$".

Определение 8.5.1: Пусть $\omega\in\overline{\mathbb{R}}$, для любого $b\in[a,\omega)$ функция $f(x):[a,\omega)\to\mathbb{R}$ интегрируема по Риману на отрезке $[a,b]$ и существует конечный предел $\displaystyle\int\limits_a^\omega{f}(x)dx:=\lim_{b\to\omega-0}\int\limits_a^bf(x)dx$ тогда говорят, что функция $f(x)$ интегрируема по Риману в несобственном смысле по промежутку $[a,\omega)$. В этом случае величина $\int\limits_a^\omega{f}(x)dx\in\mathbb{R}$ называется значением несобственного интеграла Римана от функции $f(x)$ по промежутку $[a,\omega)$.

Аналогичным образом можно объединить определения 8.5.2.1 и 8.5.2.2, но делать этого не будем, так как везде далее (если не оговорено противное) будем рассматривать несобственный интеграл заданный определением 8.5.1, так как для несобственного интеграла с переменным нижним пределом все утверждения доказываются аналогично.

Основываясь на свойствах предела функции и свойствах интеграла Римана соберем в одной теореме свойства несобственного интеграла Римана.

Теорема 8.5.1: Пусть $a,\alpha,\omega,\gamma\in\overline{\mathbb{R}}$ такие, что $a<\omega$, $\alpha<\gamma$ и функции $f(x),g(x):E\to\mathbb{R}$ такие, что существуют несобственные интегралы $\int\limits_a^\omega{f}(x)dx$, $\int\limits_a^\omega{g}(x)dx$ по промежутку $[a,\omega)\subset{E}$, тогда

1. если $\omega\in\mathbb{R}$ и $f(x)\in\mathcal{R}[a,\omega]$, то значения интеграла $\int\limits_a^\omega{g}(x)dx$ в собственном и несобственном смысле совпадают;
2. для любых $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$ несобственный интеграл $\int\limits_a^\omega(\lambda{f}(x)+\mu{g}(x))dx$ сходится и $\int\limits_a^\omega(\lambda{f}(x)+\mu{g}(x))dx=\lambda\int\limits_a^\omega{f}(x)dx+\mu\int\limits_a^\omega{g}(x)dx$;
3. для любого $c\in[a,\omega)$ несобственный интеграл $\int\limits_c^\omega{f}(x)dx$ сходится и $\int\limits_a^\omega{f}(x)dx=\int\limits_a^cf(x)dx+\int\limits_c^\omega{f}(x)dx$;
4. если функция $\varphi(t):[\alpha,\gamma)\to[a,\omega)$ такая, что $\varphi(t)\in{C}'[\alpha,\gamma)$, $\varphi(t)$ возрастает на $[\alpha,\gamma)$, $\varphi(\alpha)=a$, $\displaystyle\lim_{t\to\gamma-0}\varphi(t)=\omega$, тогда несобственный интеграл $\int\limits_\alpha^\gamma{f}(\varphi(t))\varphi'(t)dt$ сходится и $\int\limits_\alpha^\gamma{f}(\varphi(t))\varphi'(t)dt=\int\limits_a^\omega{f}(x)dx$;
5. если $f(x),g(x)\in{C}'[a,\omega)$ и существует конечный предел $\displaystyle\lim_{x\to\omega-0}(f(x)g(x))$, тогда интеграл $\int\limits_a^\omega{f}'(x)g(x)dx$ сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл $\int\limits_a^\omega{f}(x)g'(x)dx$, и если сходимость имеет место, то $\int\limits_a^\omega{f}'(x)g(x)dx=(f(x)g(x))|_a^\omega-\int\limits_a^\omega{f}(x)g'(x)dx$, где $\displaystyle(f(x)g(x))|_a^\omega:=\lim_{x\to\omega-0}(f(x)g(x))-f(a)g(a)$;
6. если $f(x)\in{C}[a,\omega)$, $F(x):=\int\limits_a^xf(t)dt:[a,\omega)\to\mathbb{R}$, тогда несобственный интеграл $\int\limits_a^\omega{f}(x)dx$ сходится тогда и только тогда, когда существует конечный предел $\displaystyle\lim_{x\to\omega-0}F(x)$ и при наличии предела $\int\limits_a^\omega{f}(x)dx=F(\omega-0):=\displaystyle\lim_{x\to\omega-0}F(x)$.

Доказательство:

1. Так как $f(x)\in\mathcal{R}[a,\omega]$, то существует $\displaystyle{K}:=\sup_{x\in[a,\omega]}|f(x)|$ и по аддитивности интеграла для любого $b\in[a,\omega)$ $\int\limits_a^\omega{f}(x)dx=\int\limits_a^bf(x)dx+\int\limits_b^\omega{f}(x)dx$.
   Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда $$\exists\delta:=\frac{\varepsilon}{K}>0:\forall{b}\in[a,b)\left(|b-\omega|<\delta\Rightarrow \left|\int\limits_a^bf(x)dx-\int\limits_a^\omega{f}(x)dx\right|\leq\left|\int\limits_b^\omega{f}(x)dx\right|\leq\int\limits_b^\omega|f(x)|dx\leq K|b-\omega|<K\frac{\varepsilon}{K}=\varepsilon\right)\Rightarrow\exists\lim_{b\to\omega-0}\int\limits_a^bf(x)dx=\int\limits_a^\omega{f}(x)dx$$ Таким образом реализовано определение сходимости несобственного интеграла $\int\limits_a^\omega{f}(x)dx$ к значению собственного интеграла $\int\limits_a^\omega{f}(x)dx$.
2. По линейности интеграла для любого $b\in[a,\omega)$ $\int\limits_a^b(\lambda{f}(x)+\mu{g}(x))dx=\lambda\int\limits_a^bf(x)dx+\mu\int\limits_a^bg(x)dx$. Так как по условию несобственные интегралы $\int\limits_a^\omega{f}(x)dx$, $\int\limits_a^\omega{g}(x)dx$ сходятся, то правая часть равенства имеет предел при $b\to\omega-0$, значит имеет предел и левая часть равенства, тогда $$\lim_{b\to\omega-0}\int\limits_a^b(\lambda{f}(x)+\mu{f}(x))dx=\lim_{b\to\omega-0}\left(\lambda\int\limits_a^bf(x)dx+\mu\int\limits_a^bg(x)dx\right)= \lambda\lim_{b\to\omega-0}\int_a^bf(x)dx+\mu\int\limits_a^bg(x)dx=\lambda\int\limits_a^\omega{f}(x)dx+\mu\int\limits_a^\omega{g}(x)dx.$$
3. По аддитивности интеграла для любого $b\in[a,\omega)$ $\int\limits_a^bf(x)dx=\int\limits_a^cf(x)dx+\int\limits_c^bf(x)dx$. По условию левая часть равенства имеет предел при $b\to\omega-0$. Первое слагаемое правой части не зависит от $b$ и, следовательно, тоже имеет предел при $b\to\omega-0$ значит имеет предел и второе слагаемое правой части равенства. То есть $$\int\limits_a^\omega{f}(x)dx=\int\limits_a^cf(x)dx+\lim_{b\to\omega-0}\int\limits_c^bf(x)dx=\int\limits_a^cf(x)dx+\int\limits_c^\omega{f}(x)dx.$$
4. Несобственный интеграл $\int\limits_a^\omega{f}(x)dx$ сходится, значит существует предел $\displaystyle\lim_{b\to\omega-0}\int\limits_a^bf(x)dx$ Так же по условию существует предел $\displaystyle\lim_{t\to\gamma-0}\varphi(t)=\omega$, значит существует предел $\lim\limits_{t\to\gamma-0}\int\limits_a^{\varphi(t)}f(x)dx$. Тогда $$\forall\beta\in[\alpha,\gamma)\left(\int\limits_\alpha^\beta{f}(\varphi(t))\varphi'(t)dt=\int\limits_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)}f(x)dx= \int\limits_a^{\varphi(\beta)}f(x)dx\right)$$ Предел правой части при $\beta\to\gamma-0$ существует, значит существует и предел левой части, следовательно, переходя к пределу при $\beta\to\gamma-0$ получим $$\int\limits_\alpha^\omega{f}(\varphi(t))\varphi'(t)dt=\lim_{\beta\to\gamma-0}\int\limits_\alpha^\beta{f}(\varphi(t))\varphi'(t)dt= \lim_{\beta\to\gamma-0}\int\limits_a^{\varphi(\beta)}f(x)dx=\int\limits_a^\omega{f}(x)dx$$ где последнее равенство верно по теореме о пределе композиции функций.
5. По формуле интегрирования по частям $$\forall{b}\in[a,\omega)\left(\int\limits_a^bf'(x)g(x)dx=(f(x)g(x))|_a^b-\int\limits_a^bf(x)g'(x)dx\right)$$ Предел $\displaystyle\lim_{b\to\omega-0}(f(x)g(x))$ существует по условию, тогда из арифметических свойств предела функции следует, что предел левой части равенства существует тогда и только тогда, когда существует предел второго слагаемого правой части и при существовании предела имеет место равенство $$\int\limits_a^\omega{f}'(x)g(x)dx= \lim_{b\to\omega-0}\int\limits_a^bf'(x)g(x)dx= (f(x)g(x))|_a^\omega-\lim_{b\to\omega-0}\int\limits_a^bf(x)g'(x)dx=(f(x)g(x))|_a^b-\int\limits_a^\omega{f}(x)dx$$
6. Следует из определения сходимости несобственного интеграла.

8.5.2 Исследование сходимости несобственного интеграла.

Утверждение 8.5.1: Критерий Коши сходимости несобственного интеграла.
Пусть $\omega\in\overline{\mathbb{R}}$ и функция $f(x):[a,\omega)\to\mathbb{R}$ такая, что для любого $b\in[a,\omega)$ $f(x)\in\mathcal{R}[a,b]$, тогда несобственный интеграл $\int\limits_a^\omega{f}(x)dx$ сходится тогда и только тогда, когда $$\forall\varepsilon>0\:\exists{B}=B(\varepsilon)<\omega: \forall{b}',b''\in(B,\omega)\left(\left|\int\limits_{b'}^{b''}f(x)dx\right|<\varepsilon\right)$$

Доказательство: Для любого $b\in[a,\omega)$ обозначим $F(b):=\int\limits_a^bf(x)dx$, тогда сходимость несобственного интеграла $\int\limits_a^\omega{f}(x)dx$ равносильна существованию предела $\displaystyle\lim_{b\to\omega-0}F(b)$. По критерию Коши существования предела функции имеем $$\exists\lim_{b\to\omega-0}F(b)\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0\:\exists{U}(\omega):\forall{b}',b''\in{U}^-(\omega)\left(|F(b')-F(b'')|= \left|\int\limits_a^{b'}f(x)dx-\int\limits_a^{b''}f(x)dx\right|=\left|\int\limits_{b'}^{b''}f(x)dx\right|<\varepsilon\right)\Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0\:\exists{B}<\omega: \forall{b}',b''\in(B,\omega)\left(\left|\int\limits_{b'}^{b''}f(x)dx\right|<\varepsilon\right)$$

В реализации критерия Коши использован язык окрестностей, потому что $\omega$ может быть как конечным так и бесконечным.

Логическое отрицание критерия Коши.
Несобственный интеграл $\int\limits_a^\omega{f}(x)dx$ расходится тогда и только тогда, когда $$\exists\varepsilon>0:\forall{B}<\omega\left(\exists{b}',b''\in(B,\omega):\left|\int\limits_{b'}^{b''}f(x)dx\right|\geq\varepsilon\right)$$

Введем некоторые обозначения.
Для любой последовательности $\{b_n\}$ из $[a,\omega)$ обозначим:
$\forall{n}\in\mathbb{N}\left(F(b_n):=\int\limits_a^{b_n}f(x)dx\right)$;
$a_1:=F(b_1)=\int\limits_a^{b_1}f(x)dx$, $\forall{n}>1\left(a_n:=F(b_n)-F(b_{n-1})=\int\limits_{b_{n-1}}^{b_n}f(x)dx\right)$
таким образом $\forall{n}\in\mathbb{N}\left(\sum_{k=1}^na_k=\int\limits_a^{b_1}f(x)dx+\int\limits_{b_1}^{b_2}f(x)dx+\dots+\int\limits_{b_{n-1}}^{b_n}f(x)dx=F(b_n)\right)$.

Утверждение 8.5.2: Критерий сходимости несобственного интеграла на языке числовых рядов.
Несобственный интеграл $\int\limits_a^\omega{f}(x)dx$ сходится тогда и только тогда, когда для любой последовательности $\{b_n\}$ из $[a,\omega)$ сходящейся к $\omega$ сходится ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n:=\sum_{n=1}^\infty\int\limits_{b_{n-1}}^{b_n}f(x)dx$.

Доказательство: Для любого $b\in[a,\omega)$ обозначим $F(b):=\int\limits_a^bf(x)dx$, тогда сходимость несобственного интеграла $\int\limits_a^\omega{f}(x)dx$ равносильна существованию предела $\displaystyle\lim_{b\to\omega-0}F(b)$. В соответствии с критерием существования предела функции по Гейне предел $\displaystyle\lim_{b\to\omega-0}F(b)$ существует тогда и только тогда, когда для любой последовательности $\{b_n\}$ из $[a,\omega)$ сходящейся к $\omega$ существует предел $$\lim_{n\to\infty}F(b_n)=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\int\limits_{b_{n-1}}^{b_n}f(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^na_k,$$ а это в свою очередь равносильно сходимости ряда $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$.

Утверждение 8.5.2 удобно использовать при доказательстве расходимости несобственного интеграла, так как для этого достаточно найти последовательность $\{b_n\}$ из $[a,\omega)$ сходящуюся к $\omega$ такую, что ряд $\sum_{n=1}^\infty\int\limits_{b_{n-1}}^{b_n}f(x)dx$ расходится.

Следствие 8.5.1: Пусть функция $f(x):[a,\omega)\to\mathbb{R}$ такая, что для любого $x\in[a,\omega)$ $f(x)\geq0$ и $f(x)\in\mathcal{R}[a,x]$, тогда несобственный интеграл сходится тогда и только тогда, когда существует последовательность $\{b_n\}$ из $[a,\omega)$ такая, что

1. $\forall{n}\in\mathbb{N}(b_{n+1}\geq{b}_n)$,
2. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\omega$,
3. ряд $\sum_{n=1}^\infty\int\limits_{b_{n-1}}^{b_n}f(x)dx$ сходится.

Следствие 8.5.2: Пусть функция $f(x):[a,\omega)\to\mathbb{R}$ такая, что для любого $x\in[a,\omega)$ $f(x)\geq0$ и $f(x)\in\mathcal{R}[a,x]$, тогда несобственный интеграл сходится тогда и только тогда, когда функция $F(x):=\int\limits_a^xf(t)dt$ ограничена на $[a,\omega)$.

Доказательство: Функция $f(x)$ неотрицательна следовательно функция $F(x)$ не убывает, следовательно, утверждение следует из критерия существования предела для монотонной функции.

Следствие 8.5.3: Пусть функция $f(x):[a,+\infty)\to\mathbb{R}$ и последовательность $\{a_n\}$ такие, что

1. $\forall{x}\in[a,+\infty)(f(x)\geq0\wedge{f}(t)\in\mathcal{R}[a,x])$,


2. функция $f(x)$ не возрастает,


3. $\forall{n}\in\mathbb{N}(a_n\geq0)$,


4. $\exists{n}_0\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_0(f(n)=a_n)$,