7.3 Центральная предельная теорема (ЦПТ).

Теорема 7.11: Если последовательность функций распределения $\{F_n(x)\}$ сходится в основном к непрерывной функции распределения $F(x)$, то $$F_n(x)\UniformConv{F}(x).$$

Доказательство:
Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда так как $F(-\infty)=0$, а $F(\infty)=1$, то существуют $a,b\in\mathbb{R}$ такие, что $aтеорема 5.5.4 MA), тогда $$ \exists{N}\in\mathbb{N}: \forall{k}\in\overline{0,N}\left(\left|F\left(a+(k+1)\frac{b-a}{N}\right)-F\left(a+k\frac{b-a}{N}\right)\right|< \frac{\varepsilon}{5}\right). $$ Для любого $k\in\overline{0,N}$ обозначим $x_k:=a+k(b-a)/N$. Так как функция $F(x)$ непрерывная, то сходимость в основном равносильна поточечной сходимости $F_n(x)\xrightarrow[n\to\infty]{}F(x)$, следовательно, $$\forall{k}\in\overline{0,N}\,\exists{n}_k\in\mathbb{N}:\left(F_n(x_k)-F(x_k)<\frac{\varepsilon}{5}\right).$$ Обозначим $n^*:=\max_{k\in\overline{0,N}}n_k$ и зафиксируем $x\in\mathbb{R}$.

1. Пусть $a<x<b$, тогда существует $k\in\overline{0,N-1}$ такое, что ${x\in[x_k,x_{k+1}]}$, следовательно, для любого $n^gtn^*$ \begin{multline*} |F(x)-F_n(x)|\leq|F(x)-F(x_k)|+|F(x_k)-F_n(x_k)|+|F_n(x_k)-F_n(x)|< \frac{2\varepsilon}{5}+|F_n(x_k)-F_n(x)|\leq\frac{2\varepsilon}{5}+|F_n(x_k)-F_n(x_{k+1})|\leq\\\leq \frac{2\varepsilon}{5}+|F_n(x_k)-F(x_k)|+|F(x_k)-F(x_{k+1})|+|F(x_{k+1})-F_n(x_{k+1})|<\varepsilon. \end{multline*} Здесь в третьем неравенстве используется неубывание функции $F_n(x)$ из него следует, что $$x_k<x_{k+1}\Rightarrow|F_n(x_k)-F_n(x)|\leq|F_n(x_k)-F_n(x_{k+1})|.$$
2. Пусть $x<a=x_0$, тогда, для любого $n>n_0$, в силу невозрастания и неотрицательности функций $F(x)$, $F_n(x)$ $$ |F_n(a)-F(a)|<\frac{\varepsilon}{5}\Rightarrow{F}_n(a)<F(a)+\frac{\varepsilon}{5}\Rightarrow|F_n(x)-F(x)|\leq {F}_n(x)+F(x)\leq{F}_n(a)+F(a)<F(a)+\frac{\varepsilon}{5}+F(a)<\frac{3\varepsilon}{5}<\varepsilon. $$
3. Пусть $x>b=x_N$, для любого $n>n^*$, в силу невозрастания и неотрицательности функций $F(x)$, $F_n(x)$ $$ |F_n(x)-F(x)|\leq|F_n(x)-1|+|1-F(x)|\leq|F_n(b)-1|+|1-F(b)|\leq|F_n(b)-1|+\frac{\varepsilon}{5}\leq |F_n(b)-F(x_n)|+|F(b)-1|+\frac{\varepsilon}{5}<\frac{3\varepsilon}{5}<\varepsilon. $$

Теорема 7.12: ЦПТ для независимых, одинаково распределённых случайных величин.
Пусть $\{\xi_n\}$ независимые, одинаково распределённые случайные величины такие, что $0<\sigma^2<\infty$, тогда $$P(\tilde{S}<x)=P\left(\frac{S_n-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}<x\right)\UniformConv\Phi(x).$$

Доказательство:
Для любого $n\in\mathbb{N}$ обозначим функцию распределения случайной величины $\xi_n-\mu$ как $\varphi(t)$. Так как $\{\xi_n\}$ независимы, то по п. 4 теоремы 6.1 $\varphi^n(t)$ является характеристической функцией случайной величины $S_n-n\mu:=\sum_{k=1}^n(\xi_k-\mu)$, тогда по п. 5 теоремы 6.1 функция $$\tilde\varphi_n(t):=\varphi^n\left(\frac{t}{\sigma\sqrt{n}}\right)$$ является характеристической функцией случайной величины $$\tilde{S}_n:=\frac1{\sigma\sqrt{n}}(S_n-n\mu).$$ По теореме 6.4 $$\varphi(t)=1+itE(\xi_1-\mu)+\frac{(it)^2}{2}E\bigl((\xi_1-\mu)^2\bigr)+o(t^2)=1-\frac{t^2\sigma^2}{2}+o(t^2),t\to0.$$ тогда, так как $\ln(1+x)\sim{x},x\to0$ (пример 5.4.13 MA), то для любого $t\in\mathbb{R}$ $$ \ln{\tilde\varphi_n(t)}=n\ln\varphi\left(\frac{t}{\sigma\sqrt{n}}\right)=n\ln\left(1-\frac{t^2\sigma^2}{2n\sigma^2}+o\Bigl(\frac{t^2}{n}\Bigr)\right)= n\left(-\frac{t^2}{2n}+o\Bigl(\frac{t^2}{n}\Bigr)\right)=-\frac{t^2}{2}+o(1),n\to\infty. $$ Тогда, так как по п. 5 примера 6.2 $e^{-t^2/2}$ является характеристической функцией для распределения $N(0,1)$, то по теореме 6.14 $$\tilde\varphi_n(t)\xrightarrow[n\to\infty]{}e^{-t^2/2}\Rightarrow\tilde{S}_n\xrightarrow[n\to\infty]{d}N(0,1)$$ и утверждение следует из теоремы 7.11.

Теорема 7.13: Теорема Муавра-Лапласа.
Если $\nu_n$ число успехов в $n$ независимых испытаниях в схеме Бернулли с вероятностью успеха $p$, то $$P\left(\frac{\nu_n-np}{\sqrt{npq}}<x\right)\UniformConv\Phi(x).$$

Доказательство:
Утверждение теоремы следует из теоремы 7.12, если для любого $k\in\overline{1,n}$ положить $\xi_k=1$, если в $k$-том испытании - успех и $\xi_k=0$ в противном случае. Тогда по п. 3 примера 4.3 $$S_n=\nu_n=\sum_{k=1}^n\xi_k,\,E\xi_1=p,\,D\xi_1=pq,\,ES_n=np.$$

Замечание 7.2: Данная теорема позволяет приближенно вычислять вероятности вида $P(A<\nu_n<B)$. А при $n>40$, $npq>12$, $0,1<p<0,9$ в силу дискретности биномиального распределения имеет место равенство $$ P\left(\frac{\nu_n-np}{\sqrt{npq}}<x\right)=F(x\sqrt{npq}+np)=\Phi(x)\Rightarrow{F}(x)=\Phi\left(\frac{x-np}{\sqrt{npq}}\right)\Rightarrow P(A<\nu_n<B)=F(B)-F(A)=\Phi\left(\frac{B-np}{\sqrt{npq}}\right)-\Phi\left(\frac{A-np}{\sqrt{npq}}\right), $$ где $F(x):=P(\nu_n<x)$ - функция распределения случайной величины $\nu_n$.

Введем некоторые обозначения. Если $\{\xi_k\}$ последовательность независимых случайных величин, то для любого $k\in\mathbb{N}$ будем обозначать $F_k(x)$ - функция распределения случайной величины $\xi_k$, $\mu_k:=E\xi_k$, $\sigma_k^2:=D\xi_k$; для любого $n\in\mathbb{N}$ $$S_n:=\sum_{k=1}^n\xi_k,\,\tilde{S}_n:=\frac{S_n-ES_n}{\sqrt{DS_n}},\,B_n^2:=DS_n=\sum_{k=1}^nD\xi_k.$$

Определение 7.7: Будем говорить, что последовательность независимых случайных величин $\{\xi_k\}$ удовлетворяет условию Линденберга, если для любого $\tau>0$ $$\frac1{B_n^2}\sum_{k=1}^n\int\limits_{|x-\mu_k|>\tau{B}_n}(x-\mu_k)^2dF_k(x)\xrightarrow[n\to\infty]{}0.$$

Замечание 7.3: Смысл условия Линденберга.
Для любого $k\in\overline{1,n}$ обозначим $A_k:=\{|\xi_k-\mu_k|>\tau{B}_n\}$, тогда $$ P(A_k)=P(|\xi_k-\mu_k|>\tau{B}_n)=\int\limits_{|x-\mu_k|>\tau{B}_n}dF_k(x)= \int\limits_{|x-\mu_k|>\tau{B}_n}\frac{(x-\mu_k)^2}{(x-\mu_k)^2}dF_k(x)\leq\frac1{\tau^2B_n^2}\int\limits_{|x-\mu_k|>\tau{B}_n}(x-\mu_k)^2dF_k(x), $$ следовательно, $$ P(\max_{1\leq{k}\leq{n}}|\xi_k-\mu_k|>\tau{B}_n)=P\left(\bigcup_{k=1}^nA_k\right)\leq\sum_{k=1}^nP(A_k)\leq \frac1{\tau^2B_n^2}\sum_{k=1}^n\int\limits_{|x-\mu_k|>\tau{B}_n}(x-\mu_k)^2dF_k(x). $$ Таким обрзом, условие Линденберга означает $$P(\max_{1\leq{k}\leq{n}}|\xi_k-\mu_k|>\tau{B}_n)\xrightarrow[n\to\infty]{}0,$$ то есть оно означает равномерную малость вклада каждого слагаемого в сумму (?) $$\tilde{S}_n=\frac1{B_n}\sum_{k=1}^n(\xi_k-\mu_k).$$

Утверждение 7.2: Для любого $\alpha\in\mathbb{R}$

1. $|e^{i\alpha}-1|\leq|\alpha|$,
2. $|e^{i\alpha}-1-i\alpha|\leq\alpha^2/2$,
3. $|e-1-i\alpha+\alpha^2/2|\leq|\alpha^3/6|$.

Доказательство:

1. $$|\alpha|=\int\limits_0^{\alpha}dt=\int\limits_0^{\alpha}|e^{it}|dt\geq\left|\int\limits_0^{\alpha}e^{it}dt\right|= \left|\left.\frac{e^{i\alpha}}{i}\right|_0^{\alpha}\right|=|e^{i\alpha}-1|.$$
2. $$ \left|\int\limits_0^{\alpha}(e^{ix}-1)dx\right|=\left|\left.\left(\frac{e^{ix}}{i}-x\right)\right|_0^{\alpha}\right|=|e^{i\alpha}-i\alpha-1| $$ $$ \left|\int\limits_0^{\alpha}(e^{ix}-1)dx\right|\leq\int\limits_0^{\alpha}|e^{ix}-1|dx\leq\int\limits_0^{\alpha}xdx=\frac{\alpha^2}{2}, $$ где последнее неравенство следует из п. 1.
3. $$ \left|\int\limits_0^{\alpha}(e^{ix}-1-ix)dx\right|=\left|\left.\left(\frac{e^{ix}}{i}-x-\frac{ix^2}{6}\right)\right|_0^{\alpha}\right|=\left|e^{i\alpha}-i\alpha+\frac{\alpha^2}{2}-1\right| $$ $$ \left|\int\limits_0^{\alpha}(e^{ix}-1-ix)dx\right|\leq\int\limits_0^{\alpha}|e^{ix}-1-ix|dx\leq\int\limits_0^{\alpha}\frac{x^2}{2}dx=\left|\frac{\alpha^3}{6}\right|, $$ где последнее неравенство следует из п. 2.

Теорема 7.14: ЦПТ (Линденберг). Если последовательность независимых случайных величин $\{\xi_k\}$ удовлетворяет условию Линденберга, то есть для любого $\tau>0$ $$\lim_{n\to\infty}\frac1{B_n^2}\sum_{k=1}^n\int\limits_{|x-\mu_k|>\tau{B}_n}(x-\mu_k)^2dF_k(x)=0,$$ то $$P(\tilde{S}_n<x)=P\left(\frac{S_n-ES_n}{\sqrt{DS_n}}<x\right)\UniformConv\Phi(x).$$

Доказательство:

1. Замена переменных.
   Для любых $n\in\mathbb{N}$ $k\in\overline{1,n}$ обозначим $\xi_{nk}:=(\xi_k-\mu_k)/B_n$, тогда для любых $n\in\mathbb{N}$, $k\in\overline{1,n}$ $$E\xi_{nk}=0,\,D\xi_{nk}=\frac{D\xi_k}{B_n^2},\,\sum_{k=1}^nD\xi_{nk}=\frac1{B_n^2}\sum_{k=1}^nD\xi_k=1.$$ Тогда $\tilde{S}_n=\sum_{k=1}^n\xi_{nk}$, рассмотрим далее последовательность характеристических функций случайных величин $\{\tilde{S}_n\}$ и докажем, что эта последовательность сходится к характеристической функции распределения $N(0,1)$. Для любых $n\in\mathbb{N}$, $k\in\overline{1,n}$ обозначим $F_{nk}(x)$ - функция распределения $\xi_{nk}$, $\varphi_{nk}(t)$ - характеристическая функция $\xi_{nk}$, тогда для любых $n\in\mathbb{N}$, $k\in\overline{1,n}$ $$ F_{nk}(x)=P(\xi_{nk}<x)=P\left(\frac{\xi_{k}-\mu_k}{B_n}<x\right)=P(\xi_k<xB_n+\mu_k)=F_k(xB_n+\mu_k). $$ Обозначим $$L_n(\tau):=\frac1{B_n^2}\sum_{k=1}^n\int\limits_{|x-\mu_k|>\tau{B}_n}(x-\mu_k)^2dF_k(x),$$ тогда, положив $y:=(x-\mu_k)/B_n$, получим $$ L_n(\tau)=\sum_{k=1}^n\int\limits_{|y|>\tau}y^2dF_k(yB_n+\mu_k)=\sum_{k=1}^n\int\limits_{|y|>\tau}y^2dF_{nk}(x)\xrightarrow[n\to\infty]{}0. $$
2. Докажем, что $\lim\limits_{n\to\infty}\varphi_{nk}(t)=1$.
   Фиксируем $\varepsilon\in(0,1)$, $T>0$, тогда для любого $t\in[-T,T]$, так как $$\int\limits_{-\infty}^{\infty}dF_{nk}(x)=1,\,\int\limits_{-\infty}^{\infty}xdF_{nk}(x)=E\xi_{nk}=0,$$ то \begin{multline*} |\varphi_{nk}(t)-1|=\left|\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{itx}dF_{nk}(x)-\int\limits_{-\infty}^{\infty}dF_{nk}(x)-it\int\limits_{-\infty}^{\infty}xdF_{nk}(x)\right|= \left|\int\limits_{-\infty}^{\infty}(e^{itx}-1-itx)dF_{nk}(x)\right|\leq\int\limits_{-\infty}^{\infty}|e^{itx}-1-itx|dF_{nk}(x)\leq\\\leq \frac{t^2}{2}\int\limits_{-\infty}^{\infty}x^2dF_{nk}(x)=\frac{t^2}{2}\left(\int\limits_{|x|\leq\varepsilon/T}x^2dF_{nk}(x)+\int\limits_{|x|>\varepsilon/T}x^2dF_{nk}(x)\right), \end{multline*} где последнее неравенство в силу п. 2 утверждения 7.2. Второе слагаемое в скобках стремится к нулю при $n\to\infty$, так как $L_n(\varepsilon/T)\to0$ при $n\to\infty$, тогда существует $n_1\in\mathbb{N}$ такое, что для любого $n>n_1$ второе слагаемое в скобках не превосходит $\varepsilon^2/T^2$. Первое слагаемое оценивается следующим образом $$\int\limits_{|x|\leq\varepsilon/T}x^2dF_{nk}(x)\leq\frac{\varepsilon^2}{T^2}\int\limits_{-\infty}^{\infty}dF_{nk}(x)=\frac{\varepsilon^2}{T^2},$$ тогда для любого $n>n_1$ $$|\varphi_{nk}(t)-1|\leq\frac{t^2}{2}\left(\frac{\varepsilon^2}{T^2}+\frac{\varepsilon^2}{T^2}\right)\leq\varepsilon^2<\varepsilon.$$ Таким образом, для любого $T>0$ $|\varphi_{nk}(t)-1|$ стремится к 0 равномерно по $t\in[-T,T]$ и по $k\in\overline{1,n}$. Так как случайные величины $\{\xi_k\}$ независимы, то по п. 4 теоремы 6.1 $$ \ln\varphi_{\tilde{S}_n}(t)=\ln\prod_{k=1}^n\varphi_{nk}(t)=\sum_{k=1}^n\ln\varphi_{nk}(t)=\sum_{k=1}^n\ln(1+(\varphi_{nk}(t)-1)). $$ Фиксируем $n_0\in\mathbb{N}$ такое, что $n_0>n_1$ и $|\varphi_{nk}-1|<1/2$ для любого $n>n_0$, тогда для любого $n>n_0$, в силу разложения в ряд Тэйлора (7.5.4 MA) $$\forall{x}\in(-1,1]\left(\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}\right),$$ имеем $$\ln\varphi_{\tilde{S}_n}(t)=\sum_{k=1}^n(\varphi_{nk}(t)-1)+R_n,$$ где $$R_n:=\sum_{k=1}^n\sum_{s=2}^\infty\frac{(-1)^{s-1}(\varphi_{nk}(t)-1)^s}{s}.$$
3. Докажем, что $R_n\to0$ при $n\to\infty$.
   Для любого $n>n_0$ $|\varphi_{nk}-1|<1/2$, значит можем воспользоваться формулой для суммы геометрической прогрессии (пример 7.1.1 MA), $$\sum_{k=0}^{\infty}q^k=\frac1{1-q}\Rightarrow\sum_{k=2}^{\infty}q^k=\frac1{1-q}-1-q=\frac{q^2}{1-q}$$ тогда положив $q:=|\varphi_{nk}(t)-1|$, получим $$R_n\leq\sum_{k=1}^n\sum_{s=2}^{\infty}\frac12|\varphi_{nk}(t)-1|^s\leq\sum_{k=1}^n\frac12\frac{|\varphi_{nk}(t)-1|^2}{1-|\varphi_{nk}(t)-1|}.$$ Тогда для любого $n>n_0$, $t\in[-T,T]$ $$ |\varphi_{nk}(t)-1|<\frac12\Rightarrow1-|\varphi_{nk}(t)-1|>\frac12\Rightarrow\frac1{1-|\varphi_{nk}(t)-1|}<2\Rightarrow {R}_n\leq\sum_{k=1}^n|\varphi_{nk}(t)-1|^2\leq\max_{1\leq{k}\leq{n}}|\varphi_{nk}(t)-1|\sum_{k=1}^n|\varphi_{nk}(t)-1|. $$ Так как $\varphi_{nk}(t)-1$ стремится к нулю при $n\to\infty$ равномерно по $k\in\overline{1,n}$, то первый множитель стремится к нулю при $n\to\infty$, докажем, что второй множитель ограничен при $n\to\infty$. $$ \sum_{k=1}^n|\varphi_{nk}(t)-1|=\sum_{k=1}^n\left|\int\limits_{-\infty}^{\infty}(e^{itx}-1-itx)dF_{nk}(x)\right|\leq \sum_{k=1}^n\int\limits_{-\infty}^{\infty}|e^{itx}-1-itx|dF_{nk}(x)\leq\frac{t^2}{2}\sum_{k=1}^n\int\limits_{-\infty}^{\infty}x^2dF_{nk}(x)= \frac{t^2}{2}\sum_{k=1}^nD\xi_{nk}=\frac{t^2}{2}\leq\frac{T^2}{2}, $$ где второе неравенство в силу п. 2 утверждения 7.2 Таким образом, $|R_n|\to0$ при $n\to\infty$.
4. Докажем, что $\varphi_{\tilde{S}_n}(t)\to{e}^{-t^2/2}$ при $n\to\infty$.
   Необходимо доказать, что для любого $t\in[-T,T]$ $$\ln\varphi_{\tilde{S}_n}(t)=\sum_{k=1}^n(\varphi_{nk}-1)+R_n\xrightarrow[n\to\infty]{}-\frac{t^2}{2}.$$ Положим \begin{multline*} \rho_n:=\frac{t^2}{2}+\sum_{k=1}^n(\varphi_{nk}(t)-1)=\frac{t^2}{2}\sum_{k=1}^nD\xi_{nk}+\sum_{k=1}^n(\varphi_{nk}(t)-1)= -\frac{(it)^2}{2}\sum_{k=1}^n\int\limits_{-\infty}^{\infty}x^2dF_{nk}(x)+\sum_{k=1}^n\int\limits_{-\infty}^{\infty}(e^{itx}-1-itx)dF_{nk}(x)=\\= \sum_{k=1}^n\int\limits_{-\infty}^{\infty}\left(e^{itx}-1-itx-\frac{(itx)^2}{2}\right)dF_{nk}(x). \end{multline*} Так как $R_n\to0$ при $n\to\infty$, то достаточно доказать, что $\rho_n\to0$ при ${n\to\infty}$. Фиксируем $\varepsilon>0$. По п. 3 утверждения 7.2 модуль подынтегрального выражения не превосходит $|t^3x^3/6|$, тогда $$ |\rho_n|\leq\frac{|t|^3}{6}\sum_{k=1}^n\int\limits_{-\varepsilon/T^3}^{\varepsilon/T^3}|x|^3dF_{nk}(x)+\sum_{k=1}^n\int\limits_{|x|>\varepsilon/T^3}|e^{itx}-1-itx|+\left|\frac{t^2x^2}{2}\right|dF_{nk}(x)\leq \frac{|t|^3}{6}\frac{\varepsilon}{T^3}\sum_{k=1}^n\int\limits_{|x|\leq\varepsilon/T^3}|x|^2dF_{nk}(x)+t^2\sum_{k=1}^n\int\limits_{|x|>\varepsilon/T^3}x^2dF_{nk}(x), $$ где в последнем неравенстве второе слагаемое преобразовано с использованием п. 2 утверждения 7.2. Так как по определению $\xi_{nk}$ $$\sum_{k=1}^n\int\limits_{-\infty}^{\infty}x^2dF_{nk}(x)=\sum_{k=1}^nD\xi_{nk}=1,$$ то $$ |\rho_n|\leq\frac{\varepsilon}{6}\left(1-\sum_{k=1}^n\int\limits_{|x|>\varepsilon/T^3}x^2dF_{nk}(x)\right)+t^2\sum_{k=1}^n\int\limits_{|x|>\varepsilon/T^3}x^2dF_{nk}(x)= \frac{\varepsilon}{6}+\left(t^2-\frac{\varepsilon}{6}\right)L_n\left(\frac{\varepsilon}{T^3}\right). $$ Так как $L_n(\varepsilon/T^3)\to0$ при $n\to\infty$, то существует $n_2\in\mathbb{N}$ такое, что $n_2>n_0$ и для любого $t\in[-T,T]$ второе слагаемое не превосходит $\varepsilon/2$, тогда для любого $n>n_2$ $|\rho_n|<\varepsilon$, то есть $\rho_n\to0$ при $n\to\infty$. Следовательно, по теоремам 6.14, 7.11 $$\ln\varphi_{\tilde{S}_n}(t)\xrightarrow[n\to\infty]{}-\frac{t^2}{2}\Rightarrow{P}(\tilde{S}_n<x)\xrightarrow[n\to\infty]{}\Phi(x)\Rightarrow {P}(\tilde{S}_n<x)\UniformConv\Phi(x).$$

Утверждение 7.3: Если $\{\xi_k\}$ последовательность независимых, одинаково распределённых случайных величин таких, что $0<\sigma^2<\infty$, то для $\{\xi_k\}$ выполняется условия Линденберга.

Доказательство:
Так как в случае одинаково распределённых случайных величин для любого $k\in\mathbb{N}$ $E\xi_k=\mu_k=\mu$, $D\xi_k=\sigma^2$, $F_k(x)=F(x)$, для любого $n\in\mathbb{N}$ $$B_n^2:=\sum_{k=1}^nD\xi_k=n\sigma^2,$$ то \begin{multline*} L_n(\tau):=\frac1{B_n^2}\sum_{k=1}^n\int\limits_{|x-\mu_k|<\tau{B}_n}(x-\mu_k)^2dF_k(x)=\frac1{n\sigma^2}n\int\limits_{|x-\mu|>\tau\sigma\sqrt{n}}(x-\mu)^2dF(x). \end{multline*} Так как $\tau\sigma\sqrt{n}\to\infty$ при $n\to\infty$ и $$\int\limits_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2dF(x)=\sigma^2<\infty,$$ то $$L_n(\tau)\xrightarrow[n\to\infty]{}0.$$
Таким образом, теорема 7.12 следует из теоремы 7.14.

Теорема 7.15: Теорема Ляпунова.
Пусть $\{\xi_k\}$ последовательность независимых случайных величин таких, что $$\exists\delta>0:\left(E(|\xi_k-\mu_k|^{2+\delta})<\infty\,\wedge\,\frac{\sum_{k=1}^nE(|\xi_k-\mu_k|^{2+\delta})}{B_n^{2+\delta}}\xrightarrow[n\to\infty]{}0\right),$$ то $$P(\tilde{S}_n<x)\UniformConv\Phi(x).$$

Доказательство:
Проверим выполнимость условия Линденберга для последовательности $\{\xi_k\}$. \begin{multline*} L_n(\tau):=\frac1{B_n^2}\sum_{k=1}^n\int\limits_{|x-\mu_k|>\tau{B}_n}(x-\mu_k)^2dF_k(x)= \frac1{B_n^2}\sum_{k=1}^n\int\limits_{|x-\mu_k|>\tau{B}_n}\frac{|x-\mu^k|^{2+\delta}}{|x-\mu_k|^{\delta}}dF_k(x)\leq \frac1{B_n^2(\tau{B}_n)^{\delta}}\sum_{k=1}^n\int\limits_{|x-\mu_k|>\tau{B}_n}|x-\mu_k|^{2+\delta}dF_k(x)\leq\\\leq \frac1{\tau^{\delta}B_n^{2+\delta}}\sum_{k=1}^n\int\limits_{-\infty}^{\infty}|x-\mu_k|^{2+\delta}dF_k(x)= \frac1{\tau^{\delta}}\frac{\sum_{k=1}^nE(|\xi_k-\mu_k|^{2+\delta})}{B_n^{2+\delta}}\xrightarrow[n\to\infty]{}0. \end{multline*}

previous contents next