7.4 ЦПТ в стандартной схеме серий.

Определение 7.8: Схемой последовательно возрастающих серий случайных величин называется последовательность случайных величин $\{\xi_{kn}\}$ такая, что $n\in\mathbb{N}$ и для любого $n\in\mathbb{N}$ $k\in\overline{1,n}$: $$ \begin{matrix} \xi_{11} & & & \\ \xi_{12} & \xi_{22} & & \\ \xi_{13} & \xi_{23} & \xi_{33} & \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \xi_{1n} & \xi_{2n} & \cdots & \xi_{nn} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{matrix} $$ Схема серий называется стандартной, если

1. для любого $n\in\mathbb{N}$ случайные величины $\xi_{1n},\ldots,\xi_{nn}$ независимы;
2. для любых $n\in\mathbb{N}$, $k\in\overline{1,n}$ $E\xi_{kn}=0$;
3. для любого $n\in\mathbb{N}$ $\sum_{k=1}^nD\xi_k=1$;

Теорема 7.16: Если в стандартной схеме серий выполнено условие Линденберга, т. е. $$\forall\tau>0\,(L_n(\tau)\xrightarrow[n\to\infty]{}0),$$ то $$P(S_n<x)\UniformConv\Phi(x).$$

Доказательство:
Так как при доказательстве теоремы 7.14 не используется вид функции распределения случайных величин $\{\xi_k\}$, а используется только их матожидания $\mu_k$, сумма дисперссий $B_n^2$ и независимость случайных величин входящих в сумму $S_n$, то стандартную схему серий можно рассматривать как последовательность случайных величин, в которой случайные величины $\xi_{1n},\ldots,\xi_{nn}$ входящие в сумму $S_n$ с ростом $n$ меняются сохраняя при этом необходимые ($\mu_{kn}=0$, $B_n^2=1$, независимость $\xi_{1n},\ldots,\xi_{nn}$) характеристики. Тогда доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 7.14. Доказательство, например, в Боровков А. А.1999 г. "Теория вероятностей" стр. 164.

Утверждение 7.4: В стандартной схеме последовательно возрастающих серий случайных величин $\{\xi_{kn}\}$ $$\forall\tau>0\,(L_n(\tau)\xrightarrow[n\to\infty]{}0)\Rightarrow\max_{1\leq{k}\leq{n}}D\xi_{kn}\xrightarrow[n\to\infty]{}0.$$

Доказательство:
Фиксируем $\varepsilon>0$. $$ \max_{1\leq{k}\leq{n}}D\xi_{kn}=\max_{1\leq{k}\leq{n}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}x^2dF_{kn}(x)= \max_{1\leq{k}\leq{n}}\left(\int\limits_{|x|\leq\sqrt\varepsilon/2}^{\infty}x^2dF_{kn}(x)+\int\limits_{|x|>\sqrt\varepsilon/2}x^2dF_{kn}(x)\right)\leq \max_{1\leq{k}\leq{n}}\left(\frac{\varepsilon}{4}+\int\limits_{|x|>\sqrt\varepsilon/2}x^2dF_{kn}(x)\right)\leq\frac{\varepsilon}{4}+L_n\left(\frac{\sqrt\varepsilon}{2}\right). $$ Так как $L_n(\sqrt\varepsilon/2)\to0$ при $n\to\infty$, то существует $n_0\in\mathbb{N}$ такое, что $L_n(\sqrt\varepsilon/2)<\varepsilon/2$, тогда $$\forall{n}>n_0\left(\max_{1\leq{k}\leq{n}}D\xi_{kn}<\frac{\varepsilon}{4}+\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon\right).$$
Как было показано ранее для произвольной последовательности независимых случайных величин $\{\xi_k\}$ $$L_n(\tau)\xrightarrow[n\to\infty]{}0\Rightarrow{P}(\max_{1\leq{k}\leq{n}}|\xi_k-\mu_k|>\tau{B}_n)\xrightarrow[n\to\infty]{}0.$$ В случае стандартной схемы серий ($\mu_k=0$, $B_n=1$) $$L_n(\tau)=\sum_{k=1}^n\int\limits_{|x|>\tau}x^2dF_{kn}(x)\xrightarrow[n\to\infty]{}0\Rightarrow{P(\max_{1\leq{k}\leq{n}}|\xi_{kn}|>\tau)}\xrightarrow[n\to\infty]{}0.$$

Определение 7.9: Случайные величины $\{\xi_{kn}\}$ в стандартной схеме серий называются ассимптотически малыми, если $$\forall\varepsilon>0\,\left(\max_{1\leq{k}\leq{n}}P(|\xi_{kn}|>\varepsilon)\xrightarrow[n\to\infty]{}0\right).$$

Утверждение 7.5: Если в стандартной схеме серий $\{\xi_{kn}\}$ для любого ${\tau>0}$ $L_n(\tau)\to0$ при $n\to\infty$, то случайные величины $\{\xi_{kn}\}$ ассимптотическии малы.

Доказательство:
Так как по утверждению 7.4 $$\forall\tau>0\,(L_n(\tau)\xrightarrow[n\to\infty]{}0)\Rightarrow\max_{1\leq{k}\leq{n}}D\xi_{kn}\xrightarrow[n\to\infty]{}0$$ и по п. 3 теоремы 4.14 $$\max_{1\leq{k}\leq{n}}P(|\xi_{kn}|>\varepsilon)\leq\max_{1\leq{k}\leq{n}}\frac{D\xi_{kn}}{\varepsilon^2},$$ то $\max\limits_{1\leq{k}\leq{n}}P(|\xi_{kn}|>\varepsilon)\to0$ при $n\to\infty$.

Условие Линденберга не является необходимым для сходимости ${P(S_n<x)\UniformConv\Phi(x)}$.

Пример 7.3: Пусть в стандартной схеме последовательно возрастающих серий для любого $n\in\mathbb{N}$ $\xi_{1n}=\eta\sim{N}(0,1)$ и для любого $k\in\overline{2,n}$ $\xi_{kn}\equiv0$. Тогда $S_n:=\sum_{k=1}^n\xi_{kn}=\xi_{1n}=\eta\sim{N}(0,1)$, то есть $$P(S_n<x)\UniformConv\Phi(x),$$ но условие Линденберга не выполняется так как $$\max_{1\leq{k}\leq{n}}P(|\xi_{kn}|>\varepsilon)=P(|\eta|>\varepsilon)$$ не стремится к нулю при $n\to\infty$.

Теорема 7.17: Теорема Линденберга-Феллера.
Пусть $\{\xi_{kn}\}$ стандартная схема серий такая, что

1. $$\forall\varepsilon>0\left(\max_{1\leq{k}\leq{n}}P(|\xi_{kn}|>\varepsilon)\xrightarrow[n\to\infty]{}0\right),$$
2. $$P(S_n<x)\UniformConv\Phi(x),$$

Доказательство:
Доказательство, напремер, в Боровков А. А.1999 г. "Теория вероятностей" стр. 167.

Замечание 7.4: Центральная предельная теорема в стандартной схеме серий используется для оценки вероятностей вида $P(A\leq{S}_n\leq{B})$ при достаточно больших $n$.

Введем некоторые обозначения: пусть $\{\xi_{kn}\}$ схема последовательно возрастающих серий такая, что для любых $n\in\mathbb{N}$ $k\in\overline{1,n}$ $$\xi_{kn}\sim\begin{pmatrix}1, & 0 \\ p_n, & q_n\end{pmatrix},$$ где $q_n:=1-p_n$.

Для любого $n\in\mathbb{N}$ обозначим $\mu_n:=\sum_{k=1}^n\xi_{kn}$ число успехов в $n$-той серии, $F_n(x)$ - функция распределения $\mu_n$. Тогда для любого $n\in\mathbb{N}$, $k\in\overline{1,n}$ $$P(\mu_n=k)=\binom{n}{k}p_n^kq_n^{n-k},$$ $$F_n(x)=\sum_{k<x}\binom{n}{k}p_n^kq_n^{n-k}.$$ Зафиксируем $\lambda>0$ и обозначим функцию распределения Пуассона с параметром $\lambda$ (2.4 п. 5) как $$\Pi(x):=\sum_{k<x}\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}$$

Теорема 7.18: Если $p_n\to0$, $np_n\to\lambda$ при $n\to\infty$, то $\{F_n(x)\}$ сходится в основном к $\Pi(x)$, то есть $$\forall{k}\in\overline{1,n}\left(P(\mu_n=k)\xrightarrow[n\to\infty]{}\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}\right).$$ Доказательство теоремы не имеет отношения к ЦПТ. Возожно теорема более уместна в конце 6 главы.

Доказательство:
Для любого $z\in\mathbb{C}$ такого, что $|z|<1/2$ докажем вспомогательное неравенство $|\ln(1+z)-z|\leq|z|^2$. \begin{multline*} \ln(1+z)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^k}{k}(-1)^{k-1}\Rightarrow|\ln(1+z)-z|=\left|\sum_{k=2}^{\infty}\frac{z^k}{k}(-1)^{k-1}\right|\leq\sum_{k=1}^{\infty}\frac{|z|^k}{k}=\\= \frac{|z|^2}{2}\sum_{k=2}^{\infty}2\frac{|z|^{k-2}}{k}\leq\frac{|z|^2}{2}\sum_{k=2}^{\infty}|z|^{k-2}=\frac{|z|^2}{2}\frac1{1-|z|}\leq|z|^2, \end{multline*} где в последнем неравенстве использована формула для суммы геометрической прогрессии (пример 7.1.1 MA). Для любого $n\in\mathbb{N}$ обозначим $\varphi_n(t)$ - характеристическая функция $\mu_n$. Для любого $n\in\mathbb{N}$ $\mu_n\sim{B}(n,p)$ (2.4 п. 6), тогда по п. 2 примера 6.2 $$\varphi_n(t)=\bigl(q_n+p_ne^{it}\bigr)^n.$$ Обозначим $\varphi(t)$ - характеристическая функция $\Pi(x)$, тогда по п. 4 примера 6.2 $$\varphi(t)=\exp{\bigl(\lambda(e^{it}-1)\bigr)}.$$ Так как $p_n\to0$ при $n\to\infty$, то существуте $n_0\in\mathbb{N}$ такое, что для любого $n>n_0$ $|p_n(e^{it}-1)|<1/2$. Тогда для любого $n>n_0$ \begin{multline*} |\ln\varphi_n(t)-\ln\varphi(t)|=|n\ln{\bigl(q_n+p_ne^{it}\bigr)}-\lambda(e^{it}-1)|= |n\ln{\bigl(1+p_n(e^{it}-1)\bigr)}-np_n(e^{it}-1)+np_n(e^{it}-1)-\lambda(e^{it}-1)|\leq\\\leq {n}|\ln{\bigl(1+p_n(e^{it}-1)\bigr)}-p_n(e^{it}-1)|+|e^{it}-1||np_n-\lambda|\leq {n}p_n^2|e^{it}-1|^2+|e^{it}-1||np_n-\lambda|. \end{multline*} Так как $p_n\to0$, $np_n\to\lambda$ при $n\to\infty$, то последнее выражение стермится к нулю при $n\to\infty$, то есть $$\ln{\varphi_n(t)}\xrightarrow[n\to\infty]{}\ln{\varphi(t)}\Rightarrow\varphi_n(t)\xrightarrow[n\to\infty]{}\varphi(t),$$ тогда по теореме 6.14 $\{F_n(x)\}$ сходится в основном к $\Pi(x)$. Следовательно, $$ P(\mu_n=k)=F_n(k+0)-F_n(k)\xrightarrow[n\to\infty]{}\Pi(k+0)-\Pi(k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}. $$

7.5 Локальная предельная теорема.

Определение 7.10: Распределение дискретной случайной величины $\xi$ называется решётчатым, если $$\exists{a}\in\mathbb{R},\,\exists{h}>0:\stackrel{\circ}{\forall}\omega\in\mathbb{R}\,\exists{k}\in\mathbb{Z}:\xi(\omega)=a+kh.$$ При этом $h$ называется шагом решётчатого распределения.
Шаг распределения $h$ называется максимальным, если для любого другого шага $h_1$ $h_1<h$.

Здесь $\stackrel{\circ}{\forall}$ означает "почти для всех".

Пример 7.4: Распределение Пуассона является решётчатым ($a=0$, $k=1$), так как для любой случайной величины $\xi\sim\Pi(\lambda)$, $\xi(\mathbb{R})=\mathbb{N}_0$.

Теорема 7.19: Распределение дискретной случайной величины $\xi$ решётчато тогда и только тогда, когда существует $t_0\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$ такое, что $|\varphi_{\xi}(t_0)|=1$.

Доказательство:
Обозначим $F(x)$ - функция распределения, $\varphi(t)$ - характеристическая функция случайной величины $\xi$.
$\Rightarrow)$ Пусть распределение дискретной случайной величины $\xi$ решётчато, то есть $$\exists{a}\in\mathbb{R},\,\exists{h}>0:\stackrel{\circ}{\forall}\omega\in\mathbb{R}(\exists{k}\in\mathbb{Z}:\xi(\omega)=a+kh).$$ Обозначим для любого $k\in\mathbb{Z}$ $p_k:=P(\xi=a+kh)$, тогда $$\varphi(t)=Ee^{it\xi}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}p_ke^{it(a+kh)}=e^{ita}\sum_{k=-\infty}^{\infty}p_ke^{itkh}.$$ Положим $t_0:=2\pi/h$, тогда $$ \varphi(t_0)=e^{i\frac{2\pi}{h}a}\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{2\pi{k}i}=e^{i\frac{2\pi}{h}a}\sum_{k=-\infty}^{\infty}p_k=e^{i\frac{2\pi}{h}a}\Rightarrow |\varphi(t_0)|=\left|e^{i\frac{2\pi}{h}a}\right|=1. $$ $\Leftarrow)$ Пусть существует $t_0\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$ такое, что $|\varphi(t_0)|=1$. Тогда существует $\theta\in\mathbb{R}$ такое, что $\varphi(t_0)=e^{i\theta}$, следовательно, \begin{multline*} \int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{it_0x}dF=e^{i\theta}\Rightarrow\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{i(t_0x-\theta)}dF(x)= \int\limits_{-\infty}^{\infty}\cos{(t_0x-\theta)}dF(x)+i\int\limits_{-\infty}^{\infty}\sin{(t_0x-\theta)}dF(x)=1\Rightarrow \int\limits_{-\infty}^{\infty}\cos{(t_0x-\theta)}dF(x)=1=\int\limits_{-\infty}^{\infty}dF(x)\Rightarrow\\\Rightarrow \int\limits_{-\infty}^{\infty}(1-\cos{(t_0x-\theta)})dF(x)=2\int\limits_{-\infty}^{\infty}\sin^2{\frac{t_0x-\theta}{2}}dF(x)= 2\sum_{s\in\xi(\mathbb{R})}\left(\sin^2{\frac{t_0s-\theta}{2}}P(\xi=s)\right)=0, \end{multline*} где множество $\xi(\mathbb{R})$ всех значений случайной величины $\xi$ счётно. Тогда для любого $s\in\xi(\mathbb{R})$ либо $P(\xi=s)=0$, либо $$\sin\frac{t_0s-\theta}{2}=0\Rightarrow\exists{k}\in\mathbb{Z}:\frac{t_0s-\theta}{2}=\pi{k}\Rightarrow{s}=\frac{\theta}{t_0}+\frac{2\pi}{t_0}k.$$ Таким образом, почти для всех $\omega\in\mathbb{R}$ $\xi(\omega)=a+kh$, где $a:=\theta/t_0$, ${h:=2\pi/t_0}$.

Теорема 7.20: Пусть $h$ - шаг распределения случайной величины $\xi$, тогда $h$ максимальный шаг распределения тогда и только тогда, когда $$\forall{t}\in\mathbb{R}\left(0<|t|<\frac{2\pi}{h}\Rightarrow|\varphi(t)|<1\right).$$

Доказательство:
Обозначим $\varphi(t)$ - характеристическая функция случайной величины $\xi$.
$\Rightarrow)$ Докажем от противного. Предположим что существует $t_1\in\mathbb{R}$ такое, что $0<t_1<2\pi/h$ и $|\varphi(t_1)|=1$. Тогда из доказательства теоремы 7.19 следует, что $2\pi/t_1$ шаг распределения при этом $h<2\pi/t_1$, то есть $h$ не максимальный шаг. Получено противоречие.
$\Leftarrow)$ Докажем от противного пусть существует шаг распределения $h_1$ такой, что $h<h_1$. Тогда $0<2\pi/h_1<2\pi/h$ и по теореме 7.19 $|\varphi(2\pi/h_1)|=1$. Получено противоречие.

Следствие 7.4: $$\forall\varepsilon>0\,\exists{c}>0:\forall{t}\in\mathbb{R}\left(\varepsilon\leq|t|\leq\frac{2\pi}{h}-\varepsilon\Rightarrow|\varphi_{\xi}(t)|\leq{e}^{-c}\right).$$

Доказательство:
Следует из непрерывности функции $e^x$.

Введём некоторые обозначения.
$\{\xi_n\}$ - последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин с решётчатым распределением. Для любого $n\in\mathbb{N}$ $F(x)$ - функция распределения $\xi_n$, $\mu:=E\xi_n$, $\sigma^2:=D\xi_n$, $S_n:=\sum_{k=1}^n\xi_n$, тогда $ES_n=n\mu$, $B_n^2:=DS_n=n\sigma^2$. Если $a$, $h$ параметры решётчатого распределения $\xi_n$, то $S_n$ имеет решётчатое распределение с параметрами $an$, $h$. Для любого $n\in\mathbb{N}$, $k\in\mathbb{Z}$ обозначим $$z_{nk}:=\frac{an+kh-n\mu}{\sigma\sqrt{n}},\,P_n(k):=P(S_n=an+kh).$$

Теорема 7.21: Локальная предельная теорема.
Пусть $\{\xi_n\}$ последовательность одинаково распределённых случайных величин с решётчатым распределеним, $h$ - максимальный шаг, $0<\sigma^2<\infty$, тогда $$\frac{B_n}{h}P_n(k)-\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-z_{nk}^2/2}\xrightarrow[n\to\infty]{}0,$$ причём сходимость равномерна по $k\in\mathbb{Z}$.

Доказательство:

1. Формула обращения.
   Обозначим $\varphi(t)$ - характеристическая функция $\xi_n$ для любого $n\in\mathbb{N}$. Тогда $\varphi^n(t)$ - характериситическая функция $S_n$. Фиксируем $m\in\mathbb{Z}$, тогда $$ \varphi^n(t)=Ee^{itS_n}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}P_n(k)e^{it(an+kh)}\Rightarrow \varphi^n(t)e^{-itan-itmh}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}(P_n(k)e^{it(k-m)h}). $$ Так как $$\left|\sum_{k=-\infty}^{\infty}(P_n(k)e^{it(k-m)}h)\right|\leq\sum_{k=-\infty}^{\infty}P_n(k)=1,$$ то ряд сходится равномерно, следовательно, по утверждению 10.2.10 MA возможно его почленное интегрирование $$\int\limits_{-\pi/h}^{\pi/h}e^{it(k-m)h}dt=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left(P_n(k)\int\limits_{-\pi/h}^{\pi/h}e^{it(k-m)h}dt\right).$$ Для любого $k\neq{m}$ $$ \int\limits_{-\pi/h}^{\pi/h}e^{it(k-m)h}dt=\left.\frac{e^{it(k-m)h}}{ih(k-m)}\right|_{-\pi/h}^{\pi/h}= \frac{e^{i\pi(k-m)}-e^{i\pi(k-m)}}{ih(k-m)}=\frac{2\sin{(\pi(k-m))}}{h(k-m)}=0, $$ если $k=m$, то $$\int\limits_{-\pi/h}^{\pi/h}e^{it(k-m)h}dt=\int\limits_{-\pi/h}^{\pi/h}dt=\frac{2\pi}{h}.$$ Таким образом, получаем формулу обращения: $$\int\limits_{-\pi/h}^{\pi/h}\varphi^n(t)e^{-itan-itmh}dt=\frac{2\pi}{h}P_n(m).$$
2. Преобразование формулы обращения.
   Для любого $n\in\mathbb{N}$, $m\in\mathbb{Z}$ $$ z_{nm}:=\frac{an+mh-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}\Rightarrow{m}h=\sigma\sqrt{n}z_{mn}-an+n\mu\Rightarrow \frac{2\pi}{h}P_n(m)=\int\limits_{-\pi/h}^{\pi/h}\varphi^n(t)e^{-itan-it\sigma\sqrt{n}z_{nm}+itan-itn\mu}dt= \int\limits_{-\pi/h}^{\pi/h}\varphi^n(t)e^{-it\sigma\sqrt{n}z_{nm}-itn\mu}dt $$ Обозначим $z:=z_{nm}$, $\tilde\varphi(t):=\varphi(t)e^{it\mu}$ - характеристическая функция случайной величины $\xi_k-\mu$, тогда $$\frac{2\pi}{h}P_n(m)=\int\limits_{-\pi/h}^{\pi/h}\tilde\varphi^n(t)e^{it\sigma\sqrt{n}z}dt.$$ Сделаем замену переменной $x:=\sigma\sqrt{n}t$, $t=x/(\sigma\sqrt{n})=x/B_n$, тогда $dt=dx/B_n$, следовательно, $$\frac{2\pi{B}_n}{h}P_n(m)=\int\limits_{-B_n\pi/h}^{B_n\pi/h}\tilde\varphi^{n}\left(\frac{x}{B_n}\right)e^{ixz}dx.$$ По п. 5 теоремы 6.1 $\tilde\varphi(x/B_n)$ - характеристическая функция случайной величины $(\xi_n-\mu)/B_n$. Тогда по п. 4 теоремы 6.1 $\tilde\varphi^n(x/B_n)$ - характеристическая функция случайной величины $\frac1{B_n}\sum_{k=1}^n(\xi_k-\mu)$.
3. Фиксируем $\varepsilon\in(0,\pi/h)$, $A>0$, тогда $$ \frac{2\pi{B}_n}{h}P_n(m)=\int\limits_{-A}^A\tilde\varphi^n\left(\frac{x}{B_n}\right)e^{ixz}dx+\int\limits_{A<|x|<\varepsilon{B_n}}\tilde\varphi^n\left(\frac{x}{B_n}\right)e^{ixz}dx+ \int\limits_{\varepsilon{B}_n<|x|<\pi{B_n}/h}\tilde\varphi^n\left(\frac{x}{B_n}\right)e^{ixz}dx. $$ Так как по п. 5 примера 6.2 $e^{-t^2/2}$ - характеристическая функция для распределения $N(0,1)$ с плотностью $e^{-x^2/2}/\sqrt{2\pi}$, то по теореме 6.8 $$e^{-z^2/2}=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{izx}e^{-x^2/2}dx=\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-izx-x^2/2}dx,$$ где последнее равенство в силу чётности функции $e^{-z^2/2}$, следовательно, $$\sqrt{2\pi}e^{-z^2/2}=\int\limits_{-A}^Ae^{-izx-x^2/2}dx+\int\limits_{|x|>A}e^{-izx-x^2/2}dx.$$ Тогда для любого $n\in\mathbb{N}$ \begin{multline*} 2\pi\left(\frac{B_n}{h}P_n(m)-\frac1{\sqrt{2\pi}e^{-z^2/2}}\right)=\frac{2\pi{B}_n}{h}-\sqrt{2\pi}e^{-z^2/2}=\\= \int\limits_{-A}^A\tilde\varphi^n\left(\frac{x}{B_n}\right)e^{izx}dx+\int\limits_{A<|x|<\varepsilon{B}_n}\tilde\varphi^n\left(\frac{x}{B_n}\right)e^{izx}dx+ \int\limits_{\varepsilon{B}_n<|x|<\pi{B}_n/h}\tilde\varphi^n\left(\frac{x}{B_n}\right)e^{izx}dx-\int\limits_{-A}^Ae^{izx-x^2/2}dx-\int\limits_{|x|>A}e^{izx-x^2/2}dx=\\= \int\limits_{-A}^Ae^{izx}\left(\tilde\varphi^n\left(\frac{x}{B_n}\right)-e^{-x^2/2}\right)dx+\int\limits_{\varepsilon{B}_n<|x|<\pi{B}_n/h}\tilde\varphi^n\left(\frac{x}{B_n}\right)e^{izx}dx- \int\limits_{|x|>A}e^{izx-x^2/2}dx. \end{multline*} Обозначим слагаемые в последнем выражении как $I_1(n,A)$, $I_2(n,A)$, $I_3(n,A)$, $I_4(n,A)$ соответственно.
4. Оценка $I_1(n,A)$.
   Так как случайные величины $\{\xi_n\}$ независимы, одинаково распределены и $0<\sigma^2<\infty$, то по теореме 7.12 последовательность функций распределения случайных величин $\frac1{B_n}\sum_{k=1}^n(\xi_k-\mu)$ сходится равномерно к функции распределения $N(0,1)$. Тогда по теореме 6.13 последовательность $\tilde\varphi^n(x/B_n)$ характерестических функций случайных величин $\frac1{B_n}\sum_{k=1}^n(\xi_k-\mu)$ сходится равномерно к функции $e^{-x^2/2}$. Тогда по утверждению 13.1.1 MA существует предел $$\lim_{n\to\infty}|I_1(n,A)|\leq\int\limits_{-A}^A\lim_{n\to\infty}\left|\tilde\varphi^n\left(\frac{x}{B_n}\right)-e^{-x^2/2}\right|dx=0.$$
5. Оценка $I_2(n,A)$.
   Так как $|e^{izx}|=1$, то $$|I_2(n,A)|\leq\int\limits_{A<|x|<\varepsilon{B}_n}\left|\tilde\varphi^n\left(\frac{x}{B_n}\right)\right|dx.$$ Так как $\tilde\varphi(t)$ - характеристическая функция случайной величины $\xi_n-\mu$, и $E(\xi-\mu)=0$, $0<D(\xi_n-\mu)=\sigma^2<\infty$, то по теореме 6.5 $$\tilde\varphi(t)=1-\frac{\sigma^2t^2}{2}+o(t^2)=1-\frac{\sigma^2t^2}{4}-\frac{\sigma^2t^2}{4}+o(t^2),t\to0.$$ Следовательно, при достаточно малых $t\in\mathbb{R}$, применив разложение функции $e^x$ в ряд Тэйлора (определение 7.5.12 MA), получим $$\tilde\varphi(t)<1-\frac{\sigma^2t^2}{4}<e^{-\sigma^2t^2/4}.$$ Следовательно, при достаточно больших $n\in\mathbb{N}$ $$ \left|\tilde\varphi\left(\frac{x}{B_n}\right)\right|<e^{-\sigma^2x^2/4B_n^2}\Rightarrow\left|\tilde\varphi^n\left(\frac{x}{B_n}\right)\right|<e^{-n\sigma^2x^2/4B_n^2}=e^{-x^2/4}\Rightarrow \Rightarrow|I_2(n,A)|<\int\limits_{A<|x|<\varepsilon{B}_n}e^{-x^2/4}dx=2\int\limits_A^{\varepsilon{B}_n}e^{-x^2/4}dx<2\int\limits_A^{\infty}e^{-x^2/4}dx. $$ Интеграл в последнем выражении сходится, так как это интеграл Пуассона (13.3.1 MA), следовательно, $$\lim_{n\to\infty}\lim_{A\to\infty}|I_2(n,A)|=0.$$
6. Оценка $I_3(n,A)$.
   По следствию 7.4 $$\exists{c}>0:\left(\varepsilon\leq|t|\leq\frac{2\pi}{h}\Rightarrow|\varphi(t)|<e^{-c}\right).$$ Так как $0<\varepsilon<\pi/h$, то $$\varepsilon\leq|t|\leq\frac{\pi}{h}\Rightarrow|\tilde\varphi(t)|=|\varphi(t)|<e^{-c}.$$ Так как $$\varepsilon\leq\left|\frac{x}{B_n}\right|\leq\frac{\pi}{h}\Leftrightarrow\varepsilon{B}_n\leq|x|\leq\frac{B_n\pi}{h},$$ то $$ \varepsilon{B}_n\leq|x|\leq\frac{B_n\pi}{h}\Rightarrow\left|\tilde\varphi^n\left(\frac{x}{B_n}\right)\right|<e^{-nc}\Rightarrow {I}_3(n,A)\leq\int\limits_{\varepsilon{B}_n<|x|<B_n\pi/h}\left|\tilde\varphi^n\left(\frac{x}{B_n}\right)\right|dx<\int\limits_{\varepsilon{B}_n<|x|<B_n\pi/h}e^{-nc}dx= 2e^{-nc}B_n\left(\frac{\pi}{h}-\varepsilon\right)\xrightarrow[n\to\infty]{}0. $$
7. Оценка $I_4(n,A)$.
   $$ |I_4(n,A)|=\left|\int\limits_{|x|>A}e^{-izx-x^2/2}dx\right|\leq\int\limits_{|x|>A}e^{-x^2/2}dx=2\int\limits_A^{\infty}e^{-x^2/2}dx\xrightarrow[A\to\infty]{}0. $$

Теорема 7.22: Теорема Муавра-Лапласа.
Если в схеме Бернулли $n$ независимых испытаний в вероятностью успеха $p$ выполняется $0<p<1$, то $$\sqrt{npq}P_n(k)-\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\xrightarrow[n\to\infty]{}0,$$ где $x=(k-np)/\sqrt{npq}$. При этом сходимость равномерна по $k\in\overline{1,n}$.

Доказательство:
Так как $0<p<1$, то $0<\sigma^2:=B_n^2=pq<\infty$. В обозначениях теоремы 7.21 при $a=0$, $h=1$, $\mu=p$, $\sigma=pq$ $$z_{nk}:=\frac{an-kh-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}=\frac{k-np}{\sqrt{npq}}=x.$$ Следовательно, утверждение теоремы следует из теоремы 7.21.

Следствие 7.5: Если в схеме Бернулли $n$ независимых испытаний в вероятностью успеха $p$ выполняется $0<p<1$, то $$\frac{\sqrt{npq}P_n(k)\sqrt{2\pi}}{e^{-x^2/2}}\xrightarrow[n\to\infty]{}1,$$ где $x=(k-np)/\sqrt{npq}$. При этом сходимость равномерна по $k$, для которых $x$ находится в каком-либо интервале.

Доказательство:
Следует из теоремы 7.22.


previous contents next