17.3 Идеалы и операции над ними.

Определение 17.4:
Подкольцо $I<R$ называют идеалом кольца $R$, если для любых $i\in{I}$, $r\in{R}$ $ir\in{I}$ и $ri\in{I}$.
Если $I$ идеал кольца $R$, то обозначают $I\vartriangleleft{R}$.

Замечание 17.4:
Пусть $R$ - кольцо.

1. Идеалы $R\vartriangleleft{R}$ и $\{0\}\vartriangleleft{R}$ называются несобственными идеалами кольца $R$ все остальные идеалы называются собственными.
2. Пусть $S\subset{R}$, тогда по утверждению 17.1 $$I\vartriangleleft{R}\Leftrightarrow\forall{s}_1,s_2\in{S}\,\forall{r}\in{R}(s_1s_2\in{S}\,\wedge\,s_1-s_2\in{S}\,\wedge\,rs_1\in{S}\,\wedge\,s_1r\in{S}).$$

Пример 17.2:

1. Для любого коммутативного кольца $R$ и любого $a\in{R}$ $aR\vartriangleleft{R}$.
2. Для любого поля $P$, $P[x]$ - коммутативное кольцо, следовательно по пункту 1 для любого $f(x)\in{P}[x]$ $f(x)P[x]\vartriangleleft{P}[x]$.
3. Отношение "быть идеалом" не является транзитивным, например в кольце $\mathbb{Z}_4$ $2\cdot2=0$, и $2\mathbb{Z}_4=\{0,2\}$, следовательно, $2\mathbb{Z}_4\vartriangleleft2\mathbb{Z}_4[x]$ и по пункту 2 $2\mathbb{Z}_4[x]\vartriangleleft\mathbb{Z}_4[x]$, то есть $$2\mathbb{Z}_4\vartriangleleft2\mathbb{Z}_4[x]\vartriangleleft\mathbb{Z}_4[x].$$ Однако, $2\mathbb{Z}_4$ не является идеалом $\mathbb{Z}_4[x]$, так как, например, $2x\notin2\mathbb{Z}_4$.

Задача 17.2:

1. Доказать, что для любого кольца $R$ и для любого $a\in{R}$ $aR\vartriangleleft{R}$.
2. Доказать, что в поле нет собственных идеалов.
3. Привести пример, когда $S<R$, но $S$ не является идеалом $R$.

1. Для любых $s_1,s_2\in{a}R$ существуют $r_1,r_2\in{R}$ такие, что $s_1=ar_1$, $s_2=ar_2$, тогда
   1. $s_1s_2=(ar_1)(ar_2)=a(ar_1r_2)\in{S},$
   2. $s_1-s_2=ar_1-ar_2=a(r_1-r_2)\in{S},$
   3. $\forall{r}\in{R}(s_1r=(ar_1)r=a(r_1r)\in{S}\,\wedge\,rs_1=r(ar_1)=a(rr_1)\in{S})$.
   Следовательно, $I\vartriangleleft{R}$ по п. 2 замечания 17.4.
2. Пусть $P$ - поле и $I\vartriangleleft{P}$, тогда $$I\neq\{0\}\Rightarrow\exists{s}\in{I}\backslash\{0\}\Rightarrow{s}s^{-1}=e\in{I}\Rightarrow\forall{r}\in{P}(er=r\in{I})\Rightarrow{I}=P.$$
3. По п. 3 примера 17.2 $2\mathbb{Z}_4<\mathbb{Z}_4[x]$, но $2\mathbb{Z}_4$ не является идеалом $\mathbb{Z}_4[x]$.

Утверждение 17.8:
Пусть $L<R$ и $I\vartriangleleft{R}$, тогда

1. $I+L<R$,
2. $I\cap{L}\vartriangleleft{L}$.

Доказательство:

1. По следствию 9.8 и утверждению 9.3 $$(L<R\,\wedge\,I\vartriangleleft{R})\Rightarrow((L;+)<(R;+)\,\wedge\,(I;+)<(R;+))\Rightarrow {I}+L<(R;+)\Rightarrow\forall{t}_1,t_2\in{I}+L(t_1-t_2\in{I}+L)$$ и $$\forall{s}_1,s_2\in{I}\,\forall{l}_1,l_2\in{L}((s_1+l_1)(s_2+l_2)=(s_1s_2+s_1l_2+l_1s_1)+l_1l_2\in{I}+L).$$ Таким образом, множество $I+L\subset{R}$ замкнуто относительно умножения и разности, следовательно, по утверждению 17.1 $I+L<R$.
2. По утверждению 17.4 $I\cap{L}<R$, следовательно, $I\cap{L}<L$. При этом $$(t\in{I}\cap{L}\,\wedge\,l\in{L})\Rightarrow(tl\in{I}\,\wedge\,tl\in{L})\Rightarrow{t}l\in{I}\cap{L},$$ аналогично $lt\in{I}\cap{L}$, то есть $I\cap{L}\vartriangleleft{L}$.

Утверждение 17.9:
$$(I\vartriangleleft{R}\,\wedge\,L\vartriangleleft{R})\Rightarrow{I}+L\vartriangleleft{R}.$$

Доказательство:

По утверждению 17.8 $I+J<R$ при этом для любых $i\in{I}$, $j\in{J}$, $r\in{R}$ $r(i+j)=ri+rj\in{I}+J$ и $(i+j)r=ir+jr\in{I}+J$, то есть $I+J\vartriangleleft{R}$.

Утверждение 17.10:
$$\forall\alpha\in{A}(I_{\alpha}\vartriangleleft{R})\Rightarrow\bigcap_{\alpha\in{A}}I_{\alpha}\vartriangleleft{R}.$$

Докзательство:

Фиксируем $r\in{R}$, тогда $$i\in\bigcap_{\alpha\in{A}}I_{\alpha}\Rightarrow\forall\alpha\in{A}(i\in{I}_{\alpha})\Rightarrow \forall\alpha\in{A}(ir\in{I}_{\alpha}\,\wedge\,ri\in{I}_{\alpha})\Rightarrow\{ir,ri\}\subset\bigcap_{\alpha\in{A}}I_{\alpha}.$$

Определение 17.5:
Пусть $R$ - кольцо, $S\subset{R}$, тогда идеал $$(S)_R:=\bigcap_{S\subset{I}\vartriangleleft{R}}I$$ называется идеалом порожденным множеством $S$.

Замечание 17.5:
Для любого кольца $R$, если $I\vartriangleleft{R}$, то $I<R$. Следовательно, для любого $S\subset{R}$ $[S]_R\subset(S)_R$. При этом обратное включение не всегда имеет место, например, из утверждений 17.5 и 17.11 следует, что $[\mathbb{N}]_{\mathbb{Q}}=\mathbb{Z}\neq\mathbb{Q}=(\mathbb{N})_{\mathbb{Q}}$.

Утверждение 17.11:
Пусть $R$ - коммутативное кольцо с единицей, ${S\subset{R}}$, $S\neq\varnothing$, тогда $$(S)_R=\biggl\{\sum_{i=1}^nr_is_i\,\Bigl|\,n\in\mathbb{N},s_i\in{S},r_i\in{R}\biggr\}.$$

Доказательство:

Обозначим $$T:=\biggl\{\sum_{i=1}^nr_is_i\,\Bigl|\,n\in\mathbb{N},s_i\in{S},r_i\in{R}\biggr\},$$ тогда так как $R$ с единицей, то $S\subset{T}$ и, очевидно, что для любых $t_1,t_2\in{T}$ $t_1-t_2\in{T}$. При этом для любого $r\in{R}$ $$t:=\sum_{i=1}^ns_ir_i\in{T}\Rightarrow{t}r=rt=\left(\sum_{i=1}^ns_ir_i\right)r=\sum_{i=1}^ns_i(r_ir)\in{T},$$ следовательно, $T\vartriangleleft{R}$, тогда $(S)_R\subset{T}$.
Обратное включение следует из того, что $(S)_R\vartriangleleft{R}$ и $S\subset(S)_R$, таким образом, $T=(S)_R$.

Следствие 17.5:
Если $R$ коммутативное кольцо с единицей, $a\in{R}$, то $(a)_R=aR$.

Доказательство:

Так как $(a)_R\vartriangleleft{R}$, то для любого $r\in{R}$ $ar\in(a)_R$, то есть $aR\subset(a)_R$.
С другой стороны, по утверждению 17.11 для любого $s\in(a)_R$ $$\exists{n}\in\mathbb{N},r_1,\ldots,r_n\in{R}:s=\sum_{i=1}^nar_i=a\sum_{i=1}^nr_i\in{a}R,$$ то есть $(a)_R\subset{a}R$, таким образом, $(a)_R=aR$.

Определение 17.6:
Идеал $I\vartriangleleft{R}$ называется главным, если существует $a\in{R}$ такое, что $I=(a)_R$.

Определение 17.7:
Коммутативное кольцо с единицей называется кольцом главных идеалов, если все его идеалы главные.

Теорема 17.1:
Пусть $P$ - поле, тогда кольца $P$, $P[x]$, $\mathbb{Z}$ являются кольцами главных идеалов.

Доказательство:

1. По п. 2 задачи 17.2 в поле только два идеала $P=(e)_P$ и $\{0\}=(0)_P$.
2. Пусть $I\vartriangleleft{P}[x]$. Если $I=\{0\}$, то $I=(0)_{P[x]}$. Пусть $I\neq\{0\}$, тогда выберем из $I$ ненулевой многочлен минимальной степени и обозначим его $f(x)$. Фиксируем $g(x)\in{I}$ и поделим его с остатком на $f(x)$, тогда $$\exists{q}(x),r(x)\in{P}[x]:(g(x)=f(x)q(x)+r(x)\,\wedge\,\deg{r}(x)<\deg{f}(x))\Rightarrow (r(x)=g(x)-f(x)q(x)\in{I}\,\wedge\,\deg{r}(x)<\deg{f}(x))\Rightarrow{r}(x)=0\Rightarrow{g}(x)=f(x)q(x)\Rightarrow{g}(x)\in(f(x))_{P[x]},$$ cледовательно, $I\subset(f(x))_{P[x]}$. Обратное включение следует из утверждения 17.11 и тогда $(f(x))_{P[x]}$.
3. Пусть $I\vartriangleleft\mathbb{Z}$. Если $I=\{0\}$, то $I=(0)_{\mathbb{Z}}$. Пусть $I\neq\{0\}$, тогда выберем в $I$ минимальное по модулю число и обозначим его $a$. Фиксируем $b\in{I}$ и поделим его с остатком на $a$, тогда $$\exists{q},r\in\mathbb{Z}:(b=aq+r\,\wedge\,0\leq{r}<|a|)\Rightarrow (r=b-aq\in{I}\,\wedge\,0\leq{r}<|a|)\Rightarrow{r}=0\Rightarrow{b}=aq\in(a)_{\mathbb{Z}},$$ следовательно, $I\subset(a)_{\mathbb{Z}}$. Обратное включение следует из утверждения 17.11 и тогда $I=(a)_{\mathbb{Z}}$.

Следствие 17.6:
Пусть $I\vartriangleleft{P}[x]$, $I\neq\{0\}$, тогда существует единственный унитарный многочлен $h(x)\in{P}[x]$ такой, что $I=(h(x))_{P[x]}$.

Доказательство:

По теореме 17.1 существует многочлен $f(x)\neq0$ такой, что $I=(f(x))_{P[x]}$. Тогда существует $c\in{P}^*$ такое, что $f^*(x):=cf(x)$ унитарный многочлен, тогда по следствию 17.5 $$(f^*(x))_{P[x]}=f^*(x)P[x]=(cf(x))P[x]=f(x)(cP[x])=f(x)P[x]=(f(x))_{P[x]}.$$ Здесь предпоследнее равенство в силу обратимости $c$.
Пусть унитарный многочлен $t(x)\in{P}[x]$ такой, что $I=(t(x))_{P[x]}$, тогда по следствию 17.5 и утверждению 7.2 $$(t(x)\in{I}=(f^*(x))_{P[x]}=f(x)P[x]\,\wedge\,f^*(x)\in{I}=(t(x))_{P[x]}=t(x)P[x])\Rightarrow(f^*(x)|t(x)\,\wedge\,t(x)|f^*(x))\Rightarrow{t}(x)=f^*(x).$$

Задача 17.3:
Пусть $R:=\mathbb{Z}_4[x]$, $I:=(2,x)_{R}$. Доказать, что идеал $I$ не является главным.
Решение.
Предположим, что существует $a(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n\in{R}[x]$ такой, что $(a(x))_{P[x]}=I$. Тогда так как для любого $b(x)=b_0+b_1x+\cdots+b_kx^k\in{I}$ $b_0\in\{0,2\}$ и $2\in{I}$, то $a_0=2$. Так как $x\in{I}$, $$\exists{b}_0,b_1\in\mathbb{Z}_4:(2+a_1x)(b_0+b_1x)=x\Rightarrow(2b_0=0\,\wedge\,2b_1+a_1b_0=1)\Rightarrow (b_0\in\{0,2\}\,\wedge\,2b_1+a_1b_0=1)\Rightarrow\exists{c}\in\mathbb{Z}_4:2c=1$$ последнее равенство в кольце $\mathbb{Z}_4$ не возможно, так что получено противоречие.

17.4 Конгруэнции колец.

Определение 17.8:
Отношение $\rho$ на кольце $(R;+,\cdot)$ называется конгруэнцией, если оно является отношение эквивалентности согласованным с операциями $+$ и $\cdot$. То есть если оно является конгруэнцией на группоидах $(R;+)$ и $(R;\cdot)$.

Определение 17.12:
Пусть $R$ - кольцо, $\rho$ - конгруэнция на $R$, тогда алгебра $(R/\rho;+,\cdot)$ является кольцом. При этом если $R$ коммутативно, то $R/\rho$ коммутативно, если $R$ с единицей, то $R/\rho$ с единицей.

Доказательство:

Так как $\rho$ - конгруэнция на группоидах $(R;+)$ и $(R;\cdot)$, то по следствию 9.2 $(R/\rho;+)$ - абелева группа, $(R;\cdot)$ - полугруппа. При этом если $(R;\cdot)$ коммутативна, то $(R/\rho;\cdot)$ коммутативна, если $(R;\cdot)$ с единицей, то $(R/\rho;\cdot)$ с единицей. Осталось только проверить дистрибутивность операции $\cdot$ относительно операции $+$ в алгебре $(R/\rho;+,\cdot)$. Фиксируем $[a],[b],[c]\in{R}/\rho$, тогда $$[a]([b]+[c])=[a][b+c]=[a(b+c)]=[ab+ac]=[ab]+[ac]=[a][b]+[a][c].$$

Определение 17.9:
Пусть $I\vartriangleleft{R}$, тогда говорят, что элементы $a,b\in{R}$ сравнимы по идеалу $I$, если $a-b\in{I}$, при этом обозначают $a\equiv{b}(I)$.

Таким образом, множество элементов $[a]_{\equiv(I)}$ сравнимых по идеалу $I$ с элементом $a\in{R}$ есть $a+I$.

Теорема 17.2:

1. Для любого идеала $I\vartriangleleft{R}$ отношение $\equiv(I)$ является конгруэнцией на $R$.
2. Для любой конгруэнции $\rho$ на кольце $R$ $[0]_{\rho}\vartriangleleft{R}$ и $\rho=(\equiv(I)).$

Доказательство:

1. Так как $I<R$, то $(I;+)<(R;+)$, тогда $\equiv(I)$ - есть отношение сравнимости по подгруппе $I$, следовательно, по теореме 9.23 отношение $\equiv(I)$ является отношением эквивалентности. При этом если $a\equiv{a}_1(I)$ и $b\equiv{b}_1(I)$, то $$(a+b)-(a_1+b_1)=(a-a_1)+(b-b_1)\in{I}\Rightarrow(a+b)\equiv(a_1+b_1)(I)$$ и $$ab-a_1b_1=ab-a_1b+a_1b-a_1b_1=(a-a_1)b+a_1(b-b_1)\in{I}\Rightarrow(aa_1)\equiv(bb_1)(I).$$ Таким образом, отношение $\equiv(I)$ является конгруэнцией.
2. Так как отношение $\rho$ рефлексивно, симметрично и согласовано с операцией $+$, то для любых $a,b\in{R}$ $$a,b\in[0]_{\rho}\Rightarrow((-b)\rho(-b)\,\wedge\,b\rho0\,\wedge\,a\rho0)\Rightarrow(0\rho(-b)\,\wedge\,a\rho0)\Rightarrow ((-b)\rho0\,\wedge\,a\rho0)\Rightarrow(a-b)\rho0\Rightarrow(a-b)\in[0]_{\rho}.$$ Так как отношение $\rho$ рефлексивно и согласовано с операцией $\cdot$, то для любых $r\in{R}$, $a\in[0]_{\rho}$ $$(a\rho0\,\wedge\,r\rho{r})\Rightarrow((ar)\rho0\,\wedge\,(ra)\rho0)\Rightarrow\{ra,ar\}\subset[0]_{\rho}.$$ Таким образом, $[0]_{\rho}\vartriangleleft{R}$ при этом $$a\rho{b}\Leftrightarrow(a-b)\rho0\Leftrightarrow(a-b)\in[0]_{\rho}\Leftrightarrow{a}\equiv{b}([0]_{\rho}),$$ то есть $\rho=(\equiv([0]_{\rho}))$.

Замечание 17.6:

1. Пусть $I\vartriangleleft{R}$, тогда кольцо $R/{\equiv}(I)$ обозначают $R/I$ и называют фактор кольцом кольца $R$ по идеалу $I$.
2. Так как по теореме 17.1 кольцо $\mathbb{Z}$ является кольцом главных идеалов, то для любого ненулевого идеала $I\vartriangleleft{R}$ существует $n\in\mathbb{N}$ такое, что $I=(n)_{\mathbb{Z}}=n\mathbb{Z}$. При этом $$a\equiv{b}(n\mathbb{Z})\Leftrightarrow(a-b)\in{n}\mathbb{Z}\Leftrightarrow{n}|a-b\Leftrightarrow{a}\equiv{b}\pmod{m}$$ Таким обрзом, $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\mathbb{Z}/n$ и все фактор кольца кольца $\mathbb{Z}$ исчерпываются кольцами вычетов по модулю $n\in\mathbb{N}$.
3. Если $P$ - поле, то аналогично пункту 2 для любого ненулевого идеала $I\vartriangleleft{P}[x]$ существует унитарный многочлен $f(x)\in{P}[x]$ такой, что $I=(f(x))_{P[x]}=f(x)P(x)$ и $P[x]/f(x)P[x]=P[x]/f(x)$.

Задача 17.4:
Привести пример полей порядка 9, 4, 8, 16, 27.
Решение.

1. Пусть $P:=\mathbb{Z}_3$, тогда многочлен $f(x)=x^2+1\in{P}[x]$ неприводим, так как унитарен и не имеет корней, при этом $|P|=3$, $k:=\deg{f}(x)=2$.
2. Пусть $P:=GF(2)$, тогда многочлен $f(x)=x^2+x+1\in{P}[x]$ неприводим, потому что унитарен и не имеет корней, при этом $|P|=2$, $k:=\deg{f}(x)=2$.
3. Пусть $P:=GF(2)$, тогда многочлен $f(x)=x^3+x+1\in{P}[x]$ неприводим, потому что унитарен и не имеет корней, при этом $|P|=2$, $k:=\deg{f}(x)=3$.
4. Пусть $P:=GF(2)/x^2+x+1$, тогда многочлен $f(x)=x^2+x+1\in{P}[x]$ неприводим, так как унитарен и не имеет корней, при этом $|P|=4$, $k:=\deg{f}(x)=2$.
5. Пусть $P:=\mathbb{Z}_3$, тогда многочлен $f(x)=x^3+2x+1\in{P}[x]$ неприводим, так как унитарен и не имеет корней, при этом $|P|=3$, ${k:=\deg{f}(x)=3}$.