13.2 Несобственные интегралы зависящие от параметра.

В главе 10 "ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ" рассматривались счетные суммы вида $\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$. Здесь индекс суммирования $n\in\mathbb{N}$, а переменную $x$ можно рассматривать как параметр. Аналогично несобственный интеграл $\int_0^{\omega}f(x,y)\,dx$ можно рассматривать как несчетную сумму, где $x\in[a,\omega)$ - индекс суммирования, а $y$ параметр.

13.2.1 Свойство равномерной сходимости по параметру несобственного интеграла.

Определение 13.2.1: Пусть $a<\omega\leq+\infty$, $Y\subset\mathbb{R}$, $E\subset{Y}$, $f(x,y)\colon[a,\omega)\times{Y}\to\mathbb{R}$ такие, что

1. для любого $y\in{Y}$ существует интеграл $\int_a^{\omega}f(x,y)\,dx$;
2. $$\forall\varepsilon>0\,\exists{B}=B(\varepsilon)\in[a,\omega)\forall{b}\in[B,\omega)\forall{y}\in{E} \left(\left|\int_b^{\omega}f(x,y)\,dx\right|<\varepsilon\right),$$

Определение 13.2.1 может быть сформулировано в другом виде. Обозначим $F(b,y):=\int_a^bf(x,y)\,dx$, тогда по условию 1 определения для любого $y\in{Y}$ существует предел $\displaystyle{F}(y):=\int_a^{\omega}f(x,y)\,dx:=\lim_{b\to\omega-0}F(b,y)$. Тогда условие равномерной сходимости интеграла $\int_a^{\omega}f(x,y)\,dx$ эквивалентно условию $F(b,y)\substack{\xrightarrow[]{}\\\xrightarrow[]{}\\b\to\omega-0}F(y),y\in{E}$.

Утверждение 13.2.1: Критерий Коши равномерной сходимости интеграла по параметру.
Пусть $a<\omega\leq+\infty$, $Y\subset\mathbb{R}$, $E\subset{Y}$, $f(x,y)\colon[a,\omega)\times{Y}\to\mathbb{R}$, тогда несобственный интеграл $\int_a^{\omega}f(x,y)\,dx$ сходится равномерно по $y\in{E}$ тогда и только тогда, когда $$\forall\varepsilon>0\,\exists{B}=B(\varepsilon)\in[a,\omega)\colon\forall{b}',b''\in[B,\omega)\forall{y}\in{E} \left(\left|\int_{b'}^{b''}f(x,y)\,dx\right|<\varepsilon\right).$$

Доказательство:
$\Rightarrow)$
Пусть интеграл $\int_a^{\omega}f(x,y)\,dx$ сходится равномерно по $y\in{E}$. Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда по определению 13.2.1 $\begin{multline} \exists{B}=B(\varepsilon)\in[a,\omega)\colon\forall{b}\in[B,\omega)\forall{y}\in{E} \left(\left|\int_b^{\omega}f(x,y)\,dx\right|<\frac{\varepsilon}{2}\right)\Rightarrow\\ \Rightarrow\forall{b}',b''\in[B,\omega)\forall{y}\in{E} \left(\left|\int_{b'}^{b''}f(x,y)\,dx\right|=\left|\int_{b'}^{\omega}f(x,y)\,dx-\int_{b''}^{\omega}f(x,y)\,dx\right|\leq \left|\int_{b'}^{\omega}f(x,y)\,dx\right|+\left|\int_{b''}^{\omega}f(x,y)\,dx\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\right). \end{multline}$ $\Leftarrow)$
Из условия $$\forall\varepsilon>0\,\exists{B}=B(\varepsilon)\in[B,\omega)\colon\forall{b}',b''\in(B,\omega)\forall{y}\in{E} \left(\left|\int_{b'}^{b''}f(x,y)\,dx\right|<\frac{\varepsilon}{2}\right)$$ по критерию Коши сходимости несобственного интеграла следует, что для любого фиксированного $y\in{E}$ интеграл $\int_{b'}^{b''}f(x,y)\,dx$ сходится. То есть имеет место поточечная сходимость интеграла.
Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда $$\exists{B}=B(\varepsilon)\in[a,\omega)\colon\forall{b}',b''\in(B,\omega)\forall{y}\in{E} \left(\left|\int_{b'}^{b''}f(x,y)\,dx\right|<\frac{\varepsilon}{2}\right)$$ Так как имеет место поточечная сходимость, то в последнем неравенстве можно перейти к пределу при $b''\to\omega-0$. Так как при переходе к пределу неравенство сохраняет знак в не строгом смысле, то $$\exists{B}=B(\varepsilon)\in[a,\omega)\colon\forall{b}'\in(B,\omega)\forall{y}\in{E}\left(\left|\int_{b'}^{\omega}f(x,y)\,dx\right|= \lim_{b''\to\omega-0}\left|\int_{b'}^{b''}f(x,y)\,dx\right|\leq\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon\right)$$

Утверждение 13.2.2: Признак поточечной сходимости интеграла по параметру.
Пусть функция $f(x,y)\colon[a,\omega)\times[c,d]\to\mathbb{R}$ такая, что

1. $f(x)\in{C}\{[a,b]\times[c,d]\}$,
2. для любого $y\in(c,d)$ интеграл $\int_a^{\omega}f(x,y)\,dx$ сходится,
3. интеграл $\int_a^{\omega}f(x,c)\,dx$ расходится

Доказательство: Поточечная сходимость следует из условия, докажем, что сходимость не равномерна. Используем логическое отрицание критерия Коши сходимости несобственного интеграла $\int_a^{\omega}f(x,c)\,dx$ $$\exists\varepsilon>0\colon\forall{B}=B(\varepsilon)\in[a,\omega)\,\exists{b}',b''\in(B,\omega)\colon \left|\int_{b'}^{b''}f(x,c)\,dx\right|\geq2\varepsilon$$ Так как функция $f(x,y)$ непрерывна, то из теоремы о непрерывности собственного интеграла по параметру следует, что функция $F(y):=\int_{b'}^{b''}f(x,y)\,dx$ непрерывна, то есть $\displaystyle\lim_{y\to{c}-0}F(y)=F(c)$. Следовательно $$\exists{y}\in[c,d]\colon|F(c)|-|F(y)|\leq|F(c)-F(y)|<\varepsilon\Rightarrow|F(y)|\geq|F(c)|-\varepsilon\geq\varepsilon.$$ Таким образом $$\exists\varepsilon>0\colon\forall{B}\in[a,\omega)\,\exists{b}',b''\in(B,\omega)\,\exists{y}\in[c,d]\colon \left|\int_{b'}^{b''}f(x,y)\,dx\right|\geq\varepsilon.$$

Легко видеть, что данное утверждение можно обобщить заменив точку $c$ на любую другую точку $y_0\in[c,d]$ предельную для множества сходимости интеграла.
Пусть $f(x,y)$ непрерывна, интеграл $\int_a^{\omega}f(x,y)\,dx$ сходится поточечно по $y\in{E}\subset[c,d]$ и существует $y_0\in[c,d]\cap\mathring{E}\backslash{E}$ такое, что интеграл $\int_a^{\omega}f(x,y_0)\,dx$ расходится, тогда интеграл $\int_a^{\omega}f(x,y)\,dx$ не сходится равномерно по $y\in{E}$.

Утверждение 13.2.3: Пусть $a<\omega\leq+\infty$, ${Y}\subset\mathbb{R}$, $E\subset{Y}$, $f(x,y)\colon[a,\omega)\times{Y}\to\mathbb{R}$, тогда интеграл $\int_a^{\omega}f(x,y)\,dx$ сходится равномерно по $y\in{E}$ тогда и только тогда, когда для любой последовательности $\{a_n\}$ из $[a,\omega)$ такой, что $\lim_{n\to\infty}a_n=\omega$ функциональный ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(y):=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{a_{n}}^{a_{n+1}}f(x,y)\,dx$ сходится равномерно по $y\in{E}$.

Доказательство:
$\Rightarrow)$ Пусть интеграл $\int_a^{\omega}f(x,y)\,dx$ сходится равномерно по $y\in{E}$. Тогда поточечная сходимости функционального ряда $\sum_{i=1}^{\infty}u_n(y)$ следует из утверждения 8.5.2. Докажем равномерную сходимость. Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда $$\exists{B}=B(\varepsilon)\in[a,\omega)\forall{y}\in{Y}\left(\left|\int_b^{\omega}f(x,y)\,dx\right|<\frac{\varepsilon}{2}\right)$$ Фиксируем последовательность $\{a_n\}$ из $[a,\omega)$ такую, что $\lim_{n\to\infty}a_n=\omega$, тогда $\begin{multline} \exists{n}_0\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_0 (a_n\in[B,\omega))\Rightarrow\\ \Rightarrow\forall{m}\geq{n}>n_0\forall{y}\in{Y} \left(\left|\sum_{k=n}^mu_n(y)\right|=\left|\int_{a_n}^{a_m}f(x,y)\,dx\right|=\left|\int_{a_n}^{\omega}f(x,y)\,dx-\int_{a_m}^{\omega}f(x,y)\,dx\right|\leq \left|\int_{a_m}^{\omega}f(x,y)\,dx\right|+\left|\int_{a_n}^{\omega}f(x,y)\,dx\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\right) \end{multline}$ Таким образом реализован критерий Коши сходимости функционального ряда.
$\Leftarrow)$
Обозначим $F(y,z):=\int_a^zf(x,y)\,dx$, $\varphi(y):=\int_a^{\omega}f(x,y)\,dx$.
Предположим, что $F(x,z)$ не сходится равномерно к $\varphi(y)$, тогда $$\exists\varepsilon>0\colon\forall\delta>0\,\exists{z}'\in[a,\omega)\,\exists{y}'\in{E}\colon (|z'-\omega|<\delta\wedge|F(y',z')-\varphi(y')|\geq\varepsilon)$$ Фиксируем последовательность $\delta_n$ такую, что $\lim_{n\to\infty}\delta_n=0$, тогда $$\forall{n}\in\mathbb{N}\,\exists{a}_n\in[a,\omega)\,\exists{y}_n\in{E}\colon(|a_n-\omega|<\delta_n\wedge|F(y_n,a_n)-\varphi(y_n)|\geq\varepsilon)$$ Таким образом найдена последовательность $\{a_n\}$ такая, что $\lim_{n\to\infty}a_n=\omega$ и $$S_k(y):=\sum_{n=1}^ku_n(y)=\int_{a_1}^{a_k}f(x,y)\,dx=F(y,a_k)-\int_a^{a_1}(x,y)\,dx$$ Так как функциональная последовательность $\{F(y,a_k)\}$ не сходится равномерно по $y\in{E}$, то и отличающаяся от нее на константу последовательность $S_k(y)$ так же не сходится равномерно, а это противоречит условию.

Если функция $f(x,y)$ положительна на $[a,\omega)\times{Y}$, то для равномерной сходимости интеграла $\int_a^{\omega}f(x,y)\,dx$ необходимо и достаточно существования возрастающей последовательности $\{a_n\}$ из $[a,\omega)$ такой, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\int_{a_n}^{a_{n+1}}f(x,y)\,dx$ сходится равномерно по $y\in{E}$.

Пример 13.2.1: Пусть $f(x,y)=e^{-xy}$, $x\in[0,+\infty)$, $y\in{Y}:=(0,+\infty)$. Рассмотрим интеграл $\displaystyle\int_0^{+\infty}f(x,y)\,dx=\int_0^{+\infty}e^{-xy}\,dx$.
Для любого $y\in{Y}$ $$\int_0^{+\infty}e^{-xy}\,dx=\frac1{y}\int_0^{+\infty}e^{-xy}\,d(xy)=\frac1{y}(-e^{-xy})|_0^{+\infty}= \frac1{y}\left(\lim_{x\to+\infty}{e^{-xy}}+1\right)=\frac1{y}$$ Таким образом на лицо поточечная сходимость интеграла на $Y$.

1. Фиксируем $y_0\in{Y}$. Тогда $$\forall{y}\geq{y}_0\forall{b}\in[0,+\infty)\left(\left|\int_b^{+\infty}e^{-xy}\,dx\right|\leq\int_b^{+\infty}e^{-xy}\,dx\leq \int_b^{+\infty}e^{-xy_0}\,dx=\frac1{y_0}e^{-by_0}=o(1),b\to\infty\right)$$ Следовательно, $$\forall\varepsilon>0\,\exists{B}\in(0,+\infty)\colon\forall{y}\geq{y}_0\forall{b}\in(B,+\infty) \left(\left|\int_b^{+\infty}e^{-xy}\right|\,dx<\varepsilon\right)$$ То есть интеграл сходится равномерно на $[y_0,+\infty)$
2. Однако, равномерной сходимости на $Y=(0,+\infty)$ нет, так как интеграл $\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-xy}\,dx$ очевидно расходится при $y=0$. Следовательно, по утверждению 2 для любого $d>0$ равномерной сходимости на $(0,d)$ нет, значит ее нет и на $(0,+\infty)$.

Пример 13.2.2: Рассмотрим интеграл $\displaystyle{F}(p)=\int_{\pi}^{+\infty}\frac{dx}{x^p\sqrt[3]{\sin^3x+1}}$ при $p\in(1,+\infty)$.
Применим идею утверждения 13.2.3 положив для любого $n\in\mathbb{N}$ $a_n=\pi{n}$. Тогда для любого $n\in\mathbb{N}$ $\displaystyle{u}_n(p)=\int_{\pi{n}}^{\pi(n+1)}\frac{dx}{x^p\sqrt[3]{\sin^3x+1}}$...

13.2.2. Признаки равномерной сходимости несобственного интеграла по параметру.

Утверждение 13.2.4: Мажорантный признак Вейерштрасса.
Пусть $f(x,y),g(x,y)\colon[a,\omega)\times{Y}\to\mathbb{R}$, $E\subset{Y}$, для любого $(x,y)\in[a,\omega)\times{E}$ $|f(x,y)|\leq{g}(x,y)$, тогда если интеграл $\int_a^{\omega}g(x,y)\,dx$ сходится равномерно по $y\in{E}$, то интеграл $\int_a^{\omega}f(x,y)\,dx$ сходится равномерно и абсолютно по $y\in{E}$.

Доказательство: Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда по критерию Коши равномерной сходимости $$\exists{B}\in[a,\omega)\colon\forall{b}',b''\in[B,\omega)\forall{y}\in{E}\left(\left|\int_{b'}^{b''}f(x,y)\,dx\right|\leq \left|\int_{b'}^{b''}|f(x,y)|dx\right|\leq\left|\int_{b'}^{b''}g(x,y)\,dx\right|<\varepsilon\right).$$

Утверждение 13.2.5: Признаки Абеля, Дирихле.
Пусть $f(x,y),g(x,y)\colon[a,\omega)\times{Y}\to\mathbb{R}$, $E\subset{Y}$, тогда интеграл $\int_a^{\omega}f(x,y)g(x,y)\,dx$ сходится равномерно по $y\in{E}$, если

1. выполняются условия признака Дирихле:
   
   1. $\exists{K}>0\colon\forall{y}\in{E},\forall{b}\in[a,\omega)\left(\left|\int_a^bf(x,y)\,dx\right|\leq{K}\right)$,
   2. функция $g(x,y)$ монотонна по $x\in[a,\omega)$ при любом фиксированном $y\in{E}$,
   3. $g(x,y)\substack{\xrightarrow[]{}\\\xrightarrow[]{}\\x\to\omega-0}0,y\in{E}$.
или
2. выполняются условия признака Абеля:
   
   1. интеграл $\int_a^{\omega}f(x,y)\,dx$ сходится равномерно по $y\in{E}$,
   2. функция $g(x,y)$ монотонна по $x\in[a,\omega)$ при любом фиксированном $y\in{E}$,
   3. $\exists{M}>0\colon\forall{y}\in{E},\forall{x}\in[a,\omega)(|g(x,y)|\leq{M})$.

Доказательство: Зорич т. 2, стр. 496.

Утверждение 13.2.6: Теорема Дини.
Пусть $I:=[a,\omega)$, $Y$ - компакт в $\mathbb{R}$ и функция $f(x,y)\colon{I}\times{Y}\to\mathbb{R}$ такая, что

1. $f(x,y)\in{C}\{I\times{Y}\}$,
2. $\forall(x,y)\in{I}\times{Y}(f(x,y)\geq0)$,
3. для любого $y\in{E}$ интеграл $\int_a^{\omega}f(x,y)\,dx$ сходится,
4. функция $F(y):=\int_a^{\omega}f(x,y)\,dx$ непрерывна на $Y$,

Доказательство: Не обнаружено.

Последний результат показывает, при каких условиях из поточечной сходимости несобственного интеграла по параметру следует равномерная сходимость.

Пример 13.2.3: Докажем, что интеграл $\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^2+y^2}$ сходится равномерно по $y\in\mathbb{R}$.
Действительно, для любого $y\in\mathbb{R}$ $\displaystyle0\leq\frac{1}{x^2+y^2}\leq\frac1{x^2}$ и интеграл $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^2}$ сходится (пример 8.5.1) равномерно по $y\in\mathbb{R}$, следовательно, интеграл $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^2+y^2}$ сходится равномерно на $y\in\mathbb{R}$ по мажорантному признаку Вейерштрасса.

Пример 13.2.4: Докажем, что интеграл $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin{x}}{x}e^{-xy}\,dx$ сходится равномерно по $y\in[0,+\infty)$.
Положим $f(x,y):=\frac{\sin{x}}{x}$, $g(x,y)=e^{-xy}$. Тогда интеграл $\int_0^{+\infty}f(x,y)\,dx$ сходится (пример 8.5.8 при этом интеграл $\int_0^{\pi/2}f(x,y)\,dx$ сходится так как для любого $x>0$ $\frac{sin{x}}{x}<1$) равномерно по $y\in[0,\omega)$. И для любых $x,y\in[0,\omega)$ $|g(x,y)|\leq1$. Следовательно, интеграл $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin{x}}{x}e^{-xy}\,dx$ сходится равномерно на $y\in[0,+\infty)$ по признаку Абеля.

Если несобственный интеграл зависящий от параметра имеет несколько особенностей, тогда он разбивается на конечное число интегралов с одной односторонней особенностью. После чего сходимость каждого из интегралов исследуется отдельно.

previous contents next