7.5 Комплексные последовательности и ряды.

7.5.1 Комплексные числа.

Множество комплексных чисел, это множество $\mathbb{C}:=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ с определенными на нем операциями сложения $+$ и умножения $*$ $$+:\mathbb{C}^2\to\mathbb{C}:(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)$$ $$*:\mathbb{C}^2\to\mathbb{C}:(x_1,y_1)*(x_2,y_2)=(x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+x_2y_1)$$ Несложно видеть, что если считать нейтральным по сложению элемент $(0,0)\in\mathbb{C}$, нейтральным по умножению элемент $(1,0)\in\mathbb{C}$ и для любого $z=(x,y)\in\mathbb{C}$ определить противоположный элемент как $-z:=(-x,-y)$, для любого $z=(x,y)\in\mathbb{C}\backslash\{0\}$ определить обратный элемент как $z^{-1}:=\left(\frac{x}{x^2+y^2},-\frac{y}{x^2+y^2}\right)$, то множество комплексных чисел будет удовлетворять аксиомам сложения и умножения. Однако, аксиомам порядка и полноты, аналогичным аксиомам действительных чисел множество комплексных не удовлетворяет.
Число $z=(x,y)\in\mathbb{C}$ часто изображают как $z=x+iy$, где $x:=(x,0)$, $y:=(y,0)$, $i:=(0,1)$. Число $i$ часто называют мнимой единицей, так как $i^2=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1$, то есть $i=\sqrt{-1}$.
Если $z=(x,y)\in\mathbb{C}$, то число $x$ часто называют действительной частью комплексного числа $z$ и обозначают $Re(z)$, а число $y$ мнимой частью комплексного числа $z$ и обозначают $Im(z)$.

Определение 7.5.1: Модулем комплексного числа $z=(x,y)$ называют действительное число $|z|:=\sqrt{x^2+y^2}$.

Утверждение 7.5.1:

1. $\forall{z}\in\mathbb{C}(|z|\geq0)$,


2. $\forall{z}\in\mathbb{C}(|z|=0\Leftrightarrow{z}=0)$,


3. $\forall{z}_1,z_2\in\mathbb{C}(|z_1+z_2|\leq|z_1|+|z_2|)$,


4. $\forall{z}_1,z_2\in\mathbb{C}(|z_1z_2|=|z_1||z_2|)$

Доказательство:

1. $$\forall{x},y\in\mathbb{R}\left(\sqrt{x^2+y^2}\geq0\right)\Rightarrow\forall{z}\in\mathbb{C}(|z|\geq0)$$
2. $$\forall{x},y\in\mathbb{R}\left(\sqrt{x^2+y^2}=0\Leftrightarrow{x}^2+y^2=0\Leftrightarrow{x}=y=0\Leftrightarrow(x,y)=(0,0)\right)$$
3. Для любых ${x}_1,y_1,x_2,y_2\in\mathbb{R}$ $$(x_1y_2-x_2y_1)^2\geq0\Rightarrow{x}^2_1y^2_2+x^2_2y^2_1-2x_1y_2x_2y_1\geq0\Rightarrow{x}^2_1y^2_2+x^2y^2_1\geq2x_1x_2y_1y_2\Rightarrow (x^2_1x^2_2+y^2_1y^2_2)+x^2_1y^2_2+x^2_2y^2_1\geq(x^2_1x^2_2+y^2_1y^2_2)+2x_1x_2y_1y_2\Rightarrow$$ $$\Rightarrow(x^2_1+y^2_1)(x^2_2+y^2_2)\geq(x_1x_2+y_1y_2)^2\Rightarrow\sqrt{(x^2_1+y^2_1)(x^2_2+y^2_2)}\geq{x}_1x_2+y_1y_2\Rightarrow$$ $$\Rightarrow(x^2_1+y^2_1+x^2_2+x^2_2)+2\sqrt{(x^2_1+y^2_1)(x^2_2+y^2_2)}\geq(x^2_1+y^2_1+x^2_2+y^2_2)+2x_1x_2+2y_1y_2\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\left(\sqrt{x^2_1+y^2_1}+\sqrt{x^2_2+y^2_2}\right)^2\geq(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2\Rightarrow\sqrt{x^2_1+y^2_1}+\sqrt{x^2_2+y^2_2}\geq \sqrt{(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2}\Rightarrow|z_1|+|z_2|\geq|z_1+z_2|$$
4. Для любых $z_1=(x_1,y_1)\in\mathbb{C}$, $z_2=(x_2,y_2)\in\mathbb{C}$ $$|z_1z_2|^2=(x_1x_2-y_1y_2)^2+(x_1y_2+x_2y_1)^2=x^2_1y^2_2+y^2_1y^2_2-2x_1x_2y_1y_2+x^2_1y^2_2+x^2_2y^2_1+2x_1x_2y_1y_2= x^2_1x^2_2+y^2_1y^2_2+x^2_1y^2_2+x^2_2y^2_1=$$ $$=(x^2_1+y^2_1)(x^2_2+y^2_2)=|z_1|^2|z_2|^2$$

Определение 7.5.2: Расстоянием между комплексными числами называется функция: $$\rho(z_1,z_2):\mathbb{C}\times\mathbb{C}\to\mathbb{R}^+:\forall{z}_1,z_2\in\mathbb{C}\left(\rho(z_1,z_2)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\right)$$

Утверждение 7.5.2: Для любых $z_1,z_2,z_3\in\mathbb{C}$.

1. $\rho(z_1,z_2)\geq0$


2. $\rho(z_1,z_2)=0\Leftrightarrow{z}_1=z_2$


3. $\rho(z_1,z_2)=\rho(z_2,z_1)$


4. $\rho(z_1,z_2)\leq\rho(z_1,z_3)+\rho(z_3,z_2)$

Доказательство:

1. $\rho(z_1,z_2)=|z_1-z_2|\geq0$,


2. $\rho(z_1,z_2=0)\Leftrightarrow|z_1-z_2|=0\Leftrightarrow{z}_1-z_2=0\Leftrightarrow{z}_1=z_2$


3. $\rho(z_1,z_2)=|z_1-z_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=|z_2-z_1|=\rho(z_2,z_1)$


4. Так как $z_1-z_2=(z_1-z_3)+(z_3-z_2)$, то по пункту 3 утверждения 7.5.1: $\rho(z_1,z_2)=|z_1-z_2|=|(z_1-z_3)+(z_3-z_2)|\leq|z_1-z_3|+|z_3-z_2|=\rho(z_1,z_3)+\rho(z_3,z_2).$

Определение 7.5.3: Пусть $r\in\mathbb{R}^+$, тогда симметричной окрестностью радиуса $r$ комплексного числа $z_0$ называется множество $U(z_0):=\{z\in\mathbb{C}\:|\:\rho(z,z_0)<r\}$.

Определение 7.5.4: Последовательность комплексных чисел $\{z_n\}$ сходится и имеет предел равный $w\in\mathbb{C}$ если, $$\forall\varepsilon>0\:\exists{n}_0\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_0(\rho(z_n,w)<\varepsilon)$$

Теорема 7.5.1: Пусть $a,b\in\mathbb{R}$, $c:=(a,b)\in\mathbb{C}$; $\{x_n\}$, $\{y_n\}$ последовательности из $\mathbb{R}$; $\{z_n\}$ последовательность из $\mathbb{C}$ такая, что для любого $n\in\mathbb{N}$ $z_n=(x_n,y_n)$, тогда $$\exists\lim_{n\to\infty}z_n=c\Leftrightarrow(\exists\lim_{n\to\infty}x_n=a\wedge\exists\lim_{n\to\infty}y_n=b).$$

Доказательство:

• $\Rightarrow)$
  Фиксируем $\varepsilon>0$. Так как для любых $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ $\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\geq|\alpha|$ и $\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\geq|\beta|$, то $$\exists\lim_{n\to\infty}z_n=c\Rightarrow \exists{n}_0\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_0\left(\rho(z_n,w)=|z_n-w|=\sqrt{(x_n-a)^2+(y_n-b)^2}<\varepsilon\right)\Rightarrow \forall{n}>n_0(|x_n-a|<\varepsilon\wedge|y_n-b|<\varepsilon)\Rightarrow(\lim_{n\to\infty}x_n=a\wedge\lim_{n\to\infty}y_n=b).$$
• $\Leftarrow)$
  Фиксируем $\varepsilon>0$. Так как $$\forall\alpha>0,\forall\beta>0((\alpha+\beta)^2\geq\alpha^2+\beta^2)\Rightarrow \forall\alpha>0,\forall\beta>0\left(\alpha+\beta\geq\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\right)$$ то $$(\exists\lim_{n\to\infty}x_n=a\wedge\exists\lim_{n\to\infty}y_n=b)\Rightarrow \left(\exists{n}_1\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_1\left(|x_n-a|<\frac{\varepsilon}{2}\right)\wedge \exists{n}_2\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_2\left(|y_n-b|<\frac{\varepsilon}{2}\right)\right)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\forall{n}>\max\{n_1,n_2\}\left(\rho(z_n,c)=|z_n-c|=\sqrt{|x_n-a|^2+|y_n-b|^2}\leq|x_n-a|+|y_n-b|< \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\right)\Rightarrow\lim_{n\to\infty}z_n=c.$$

Таким образом в принципиальном смысле понятие сходимости последовательности комплексных чисел в эквивалентной форме сводится к сходимости двух последовательностей вещественных чисел.

Свойства предела последовательности комплексных чисел.

1. Если последовательности сходится, то она ограничена. Если предел последовательности существует, то он единственен.
2. Свойства бесконечно малых такие же как у последовательности вещественных чисел.
3. Арифметические свойства предела последовательности комплексных чисел такие же как у последовательностей вещественных чисел.
4. На базе теоремы 7.5.1 не сложно оправдать критерий Коши для последовательностей комплексных чисел: $\{z_n\}$ - фундаментальна, эквивалентно, $\{x_n\}$, $\{y_n\}$ - фундаментальны, эквивалентно, $\{x_n\}$, $\{y_n\}$ сходятся, эквивалентно, $\{z_n\}$ сходится.
5. Аналогично числовым последовательностям вводится понятие подпоследовательности и частичного предела последовательности; сохраняется лемма Больцано - Вейерштрасса.
6. Сохраняются основный локальные свойства и свойства $O$-символики.

Тем не менее ряд результатов не имеет места для последовательностей комплексных чисел. Множество $\mathbb{C}$ не является линейно упорядоченным, поэтому для рядов из комплексных чисел не имеют смысла результаты связанные со сравнением значений пределов. Не формулируются понятия монотонной последовательности, верхнего и нижнего предела последовательности.

7.5.2 Основные понятия и результаты для рядов из комплексных чисел.

Формальное понятие ряда такое же как и для ряда из вещественных чисел.
Если дано два ряда действительных чисел $\sum_{n=1}^\infty{x}_n$, $\sum_{n=1}^\infty{y}_n$, то можно предъявить ряд комплексных чисел $\sum_{n=1}^\infty{z}_n$, где для любого $n\in\mathbb{N}$ $z_n=(x_n,y_n)\in\mathbb{C}$.
Введем обозначения $$\forall{n}\in\mathbb{N}\left(S_n:=\sum_{k=1}^nz_k,T_n:=\sum_{k=1}^nx_k,L_n:=\sum_{k=1}^ny_k\right)$$ тогда $S_n=(T_n,L_n)$.

Определение 7.5.5: Говорят, что ряд комплексных чисел $\sum_{n=1}^\infty{z}_n$ сходится и имеет своей суммой комплексное число $S=(T,L)$, если существует предел последовательности частичных сумм $S_n$ ряда $\sum_{n=1}^\infty{z}_n$ равный $S$.

Определение 7.5.6: Говорят, что ряд комплексных чисел $\sum_{n=1}^\infty{z}_n$ сходится абсолютно, если сходится ряд действительных чисел $\sum_{n=1}^\infty|z_n|$.

Определение 7.5.7: Говорят, что сходящийся ряд комплексных чисел $\sum_{n=1}^\infty{z}_n$ сходится не абсолютно, если не сходится ряд действительных чисел $\sum_{n=1}^\infty|z_n|$

Теорема 7.5.2: Пусть ряды $\sum_{n=1}^\infty{z}_n$, $\sum_{n=1}^\infty{x}_n$, $\sum_{n=1}^\infty{y}_n$ такие, что для любого $n\in\mathbb{N}$ $x_n\in\mathbb{R}$, $y_n\in\mathbb{R}$ $z_n=(x_n,y_n)\in\mathbb{C}$, тогда

1. ряд $\sum_{n=1}^\infty{z}_n$ сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды $\sum_{n=1}^\infty{x}_n$, $\sum_{n=1}^\infty{y}_n$, при этом если ряды сходятся, то $\sum_{n=1}^\infty{z}_n=\left(\sum_{n=1}^\infty{x}_n,\sum_{n=1}^\infty{y}_n\right)$;


2. ряд $\sum_{n=1}^\infty|z_n|$ сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды $\sum_{n=1}^\infty|x_n|$, $\sum_{n=1}^\infty|y_n|$;


3. если ряд $\sum_{n=1}^\infty|z_n|$ сходится, то сходится ряд $\sum_{n=1}^\infty{z}_n$;


4. ряд $\sum_{n=1}^\infty{z}_n$ сходится абсолютно тогда и только тогда, когда сходятся абсолютно ряды $\sum_{n=1}^\infty{x}_n$, $\sum_{n=1}^\infty{y}_n$;


5. ряд $\sum_{n=1}^\infty{z}_n$ сходится не абсолютно, тогда и только тогда, когда ряды $\sum_{n=1}^\infty{x}_n$, $\sum_{n=1}^\infty{y}_n$ сходятся и как минимум один из них не абсолютно.

Доказательство:

1. Пусть $S_n:=\sum_{k=1}^nz_k$, $T_n:=\sum_{k=1}^nx_k$, $L_n:=\sum_{k=1}^ny_k$, тогда $S_n=(T_n,L_n)$. По теореме 7.5.1 $$\exists{S}:=\lim_{n\to\infty}S_n\Leftrightarrow(\exists{T}:=\lim_{n\to\infty}T_n\wedge\exists{L}:=lim_{n\to\infty}L_n)$$ при этом $S=(T,L)$.
2. • $\Rightarrow)$
     Так как $$\forall\alpha,\beta\in\mathbb{R}\left(\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\geq\max{|\alpha|,|\beta|}\right)\Rightarrow \forall{n}\in\mathbb{N}(|z_n|\geq|x_n|\wedge|z_n|\geq|y_n|)$$ то по основной теореме сравнения для знакопостоянных рядов из сходимости ряда $\sum_{n=1}^\infty|z_n|$ следует сходимость рядов $\sum_{n=1}^\infty|x_n|$, $\sum_{n=1}^\infty|y_n|$.
   • $\Leftarrow)$
     Из сходимости рядов $\sum_{n=1}^\infty|x_n|$, $\sum_{n=1}^\infty|y_n|$ следует сходимость ряда $\sum_{n=1}^\infty(|x_n|+|y_n|)$ и так как $$\forall\alpha,\beta\in\mathbb{R}\left(|\alpha|+|\beta|\geq\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\right)\Rightarrow\forall{n}\in\mathbb{N}(|x_n|+|y_n|\geq|z_n|)$$ то, из сходимости ряда $\sum_{n=1}^\infty(|x_n|+|y_n|)$ следует сходимость ряда $\sum_{n=1}^\infty|z_n|$.
3. Если ряд $\sum_{n=1}^\infty|z_n|$ сходится, то по пункту 2 сходятся ряды $\sum_{n=1}^\infty|x_n|$, $\sum_{n=1}^\infty|y_n|$, следовательно сходятся ряды $\sum_{n=1}^\infty{x}_n$, $\sum_{n=1}^\infty{y}_n$, тогда по пункту 1 сходится ряд $\sum_{n=1}^\infty{z}_n$.
4. Следует из пункта 2.
5. Следует из пунктов 1, 2, так как для любых двух утверждений $A,B$ $(A\Leftrightarrow{B})\Leftrightarrow(\overline{A}\Leftrightarrow\overline{B})$.

В теоретическом плане произведено в эквивалентной форме сведение сходимости рядов из комплексных чисел к сходимости рядов из вещественных чисел.

1. При исследовании рядов из комплексных чисел на абсолютную сходимость работают все признаки установленные для рядов из вещественных чисел.
2. Полностью сохраняются общие свойства сходящихся рядов: арифметические операции, критерий Коши, необходимое условие сходимости, сочетательное свойство.
3. Сохраняются свойства абсолютно сходящихся рядов: переместительное свойство, произведение рядов.
4. При исследовании ряда из комплексных чисел на неабсолютную сходимость надо взять два ряда из вещественных чисел соответствующих действительной и мнимой части рада из комплексных чисел и с ними поработать. Если в обоих случаях они сходятся абсолютно, делается вывод, об абсолютной сходимости ряда комплексных чисел. Напрямую признаки Абеля, Лейбница, Дирихле не применяются к рядам из комплексных чисел.
5. Теорема Римана применима для каждой из частей (действительной и мнимой) в отдельности.